Álgebra: ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Las ecuaciones de primer grado son de la forma $ax + b = 0$. Su resolución es directa, despejando la incógnita. Sin embargo, las de segundo grado ($ax^2 + bx + c = 0$) requieren herramientas más específicas.

Para resolver una ecuación de segundo grado completa, utilizamos la fórmula general: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El elemento clave aquí es el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$), que nos indica el número de soluciones reales:

• Si $\Delta > 0$: Dos soluciones reales distintas.
• Si $\Delta = 0$: Una solución real doble.
• Si $\Delta < 0$: No existen soluciones reales.

En el contexto de las Ciencias Sociales, una solución negativa puede no tener sentido (por ejemplo, si hablamos de número de productos fabricados), por lo que la interpretación de las soluciones es tan importante como el cálculo.

Cuando el grado del polinomio es mayor que 2, utilizamos la Regla de Ruffini y el Teorema del Factor. El objetivo es descomponer el polinomio en factores de primer o segundo grado.

1. Buscamos raíces enteras entre los divisores del término independiente.
2. Aplicamos Ruffini para bajar el grado del polinomio.
3. Si llegamos a un polinomio de segundo grado, aplicamos la fórmula general.

Ejemplo: Para $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$, probamos con los divisores de 6 ($\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$). Al encontrar que $x=1$ es raíz, el polinomio se factoriza como $(x-1)(x^2-5x+6)=0$.

Son aquellas donde la incógnita aparece en el denominador. El procedimiento fundamental es:

1. Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
2. Multiplicar toda la ecuación por el m.c.m. para eliminar las fracciones.
3. Resolver la ecuación resultante (normalmente polinómica).

Es obligatorio validar las soluciones, ya que aquellos valores que anulen el denominador original deben ser descartados (se denominan soluciones extrañas).

Son ecuaciones donde la incógnita se encuentra bajo el signo de un radical. Para resolverlas:

1. Aislamos el radical en uno de los miembros de la ecuación.
2. Elevamos ambos miembros a la potencia adecuada (normalmente al cuadrado).
3. Resolvemos la ecuación resultante.

Nota crítica: Al elevar al cuadrado, pueden introducirse soluciones falsas. Por tanto, es obligatorio comprobar los resultados en la ecuación inicial.

En estas ecuaciones, la incógnita forma parte de un exponente. Existen dos estrategias principales:

• Igualación de bases: Si conseguimos que $a^x = a^y$, entonces $x = y$.
• Cambio de variable: Si tenemos términos como $2^x$ y $4^x$, podemos hacer $t = 2^x$ (por lo que $4^x = t^2$) para obtener una ecuación polinómica.
• Uso de logaritmos: Cuando no podemos igualar bases, aplicamos logaritmos en ambos lados: $a^x = b \Rightarrow x \cdot \log(a) = \log(b)$.

Para resolverlas, aplicamos las propiedades de los logaritmos (suma, resta y potencia) para conseguir que haya un solo logaritmo en cada lado de la igualdad: $\log(A) = \log(B) \Rightarrow A = B$.

Recuerda que el argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo ($>0$). Cualquier solución que haga el argumento negativo o cero debe ser descartada.

Para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, recordamos:

• Sustitución: Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir en la otra.
• Igualación: Despejar la misma incógnita en ambas.
• Reducción: Multiplicar ecuaciones para eliminar una incógnita al sumar.

Geométricamente, la solución es el punto de corte entre las dos rectas representadas por las ecuaciones.

Para sistemas de mayor dimensión, utilizamos el Método de Gauss. El objetivo es transformar el sistema original en un sistema escalonado (triangular) mediante operaciones elementales:

1. Intercambiar filas.
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
3. Sumar a una fila otra multiplicada por un número.

Una vez triangulado, realizamos una resolución hacia atrás, despejando primero la última incógnita y subiendo posiciones.

Según el número de soluciones, un sistema puede ser:

1. Sistema Compatible Determinado (SCD): Tiene una única solución (las rectas/planos se cortan en un punto).
2. Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Tiene infinitas soluciones (son dependientes).
3. Sistema Incompatible (SI): No tiene solución (rectas paralelas).

Aparecen cuando al menos una de las ecuaciones es de segundo grado (círculos, parábolas, etc.). El método más eficiente suele ser el de sustitución. Despejamos una incógnita en la ecuación lineal y la introducimos en la cuadrática, lo que suele derivar en una ecuación de segundo grado.

Suelen resolverse mediante un cambio de variable doble ($u = a^x, v = b^y$) para convertirlos en sistemas lineales, o aplicando propiedades logarítmicas para "liberar" las incógnitas de los logaritmos. Siempre debemos verificar que las soluciones finales respeten el dominio de los logaritmos originales.

Se resuelven de forma similar a las ecuaciones, con una regla crítica: Si multiplicamos o dividimos por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. La solución se expresa como un intervalo o una semirrecta en la recta real.

Para resolver $P(x) > 0$ o $\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0$:

1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador (puntos críticos).
2. Situamos estos puntos en la recta real, dividiéndola en intervalos.
3. Creamos un cuadro de signos probando un valor de cada intervalo en la expresión.
4. Seleccionamos los intervalos que cumplen el signo de la desigualdad.

Con dos incógnitas, la solución no es un punto, sino una región factible en el plano.

1. Dibujamos las rectas correspondientes a cada inecuación.
2. Elegimos el semiplano que cumple la condición.
3. La solución es la intersección de todos los semiplanos. Los vértices de esta región son fundamentales en problemas de programación lineal.

El éxito en la resolución de problemas reside en una traducción precisa del lenguaje natural al lenguaje algebraico.

• Identificar variables: ¿Qué me preguntan? (Ej: $x$ = precio del kilo de café).
• Establecer restricciones: Traducir las frases del enunciado en igualdades o desigualdades.
• Elección del método: Si el modelo es lineal, Gauss es preferible; si hay relaciones inversas, usaremos ecuaciones racionales.

En 1º de Bachillerato de CCSS, los problemas suelen centrarse en:

• Mezclas: Basados en la conservación de la cantidad y el valor total (Precio $\cdot$ Cantidad).
• Economía: Beneficio = Ingresos - Costes. A menudo se busca el "punto muerto" o umbral de rentabilidad (donde el beneficio es cero).
• Interpretación: Un resultado matemático como $x = -5,5$ en un problema de "número de personas" debe interpretarse como una imposibilidad física o un error en el modelo, ya que el contexto real limita las soluciones posibles.