Trigonometría: resolución de triángulos

Para medir ángulos, utilizamos principalmente dos sistemas: el sistema sexagesimal y el sistema internacional (radianes).

1. Grados sexagesimales (°): Dividen la circunferencia en 360 partes iguales. Cada grado se divide en 60 minutos (') y cada minuto en 60 segundos ('').
2. Radianes (rad): Un radián es el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Una circunferencia completa tiene $2\pi$ radianes.

Equivalencia fundamental: $180^\circ = \pi \text{ rad}$

Para convertir de una unidad a otra, aplicamos una regla de tres o factores de conversión:

• De grados a radianes: $\alpha \cdot \frac{\pi}{180}$
• De radianes a grados: $\alpha \cdot \frac{180}{\pi}$

En un triángulo rectángulo (donde uno de sus ángulos es $90^\circ$), definimos las razones trigonométricas de un ángulo agudo $\alpha$ en función de sus lados:

• Seno ($\text{sen } \alpha$): $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$
• Coseno ($\cos \alpha$): $\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}$
• Tangente ($\text{tg } \alpha$): $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}$

También existen las razones inversas:

• Cosecante ($\text{cosec } \alpha$): $\frac{1}{\text{sen } \alpha}$
• Secante ($\sec \alpha$): $\frac{1}{\cos \alpha}$
• Cotangente ($\text{cotg } \alpha$): $\frac{1}{\text{tg } \alpha}$

El valor de estas razones depende únicamente de la amplitud del ángulo, no del tamaño del triángulo, debido a la semejanza de triángulos.

Existen ciertos ángulos que aparecen con frecuencia y cuyos valores exactos debemos conocer:

Para ángulos mayores de $90^\circ$, utilizamos la circunferencia goniométrica (radio = 1). En ella, el seno es la coordenada $y$ y el coseno es la coordenada $x$. Esto determina el signo:

• I Cuadrante: Todos positivos.
• II Cuadrante: Seno positivo; Coseno y Tangente negativos.
• III Cuadrante: Tangente positiva; Seno y Coseno negativos.
• IV Cuadrante: Coseno positivo; Seno y Tangente negativos.

Existen relaciones que se cumplen para cualquier ángulo $\alpha$ y son herramientas esenciales para simplificar expresiones:

1. Relación fundamental: $\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
2. Relación de la tangente: $\text{tg } \alpha = \frac{\text{sen } \alpha}{\cos \alpha}$
3. Identidad pitagórica derivada: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \sec^2\alpha$

Estas fórmulas permiten hallar todas las razones de un ángulo conociendo solo una de ellas.

Podemos expresar las razones de cualquier ángulo en función de un ángulo del primer cuadrante:

• Ángulos suplementarios ($180^\circ - \alpha$): $\text{sen}(180^\circ - \alpha) = \text{sen } \alpha$; $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
• Ángulos que se diferencian en $180^\circ$ ($180^\circ + \alpha$): $\text{sen}(180^\circ + \alpha) = -\text{sen } \alpha$; $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$.
• Ángulos opuestos ($-\alpha$ o $360^\circ - \alpha$): $\text{sen}(-\alpha) = -\text{sen } \alpha$; $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$.

Es crucial configurar correctamente la calculadora:

• Modo DEG: Para trabajar con grados sexagesimales (aparece una "D" en pantalla).
• Modo RAD: Para trabajar con radianes (aparece una "R" en pantalla).

Para hallar un ángulo conociendo su razón, usamos las funciones inversas: $\text{arcsen}$, $\text{arccos}$ y $\text{arctg}$ (habitualmente las teclas Shift + sin/cos/tan). Recuerda que la calculadora siempre da el valor más pequeño posible, y a veces debemos razonar el cuadrante correcto según el problema.

Resolver un triángulo significa hallar la medida de sus tres lados y sus tres ángulos. En un triángulo rectángulo:

1. Si conocemos dos lados, usamos el Teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$) para el tercero y una razón trigonométrica inversa para los ángulos.
2. Si conocemos un lado y un ángulo, usamos la razón trigonométrica que relacione el lado conocido con el desconocido.

Son conceptos clave en problemas de topografía y navegación:

• Ángulo de elevación: El formado entre la línea horizontal y la línea de visión hacia un objeto situado arriba.
• Ángulo de depresión: El formado entre la línea horizontal y la línea de visión hacia un objeto situado abajo.

Se utiliza para calcular alturas de objetos a los que no podemos acceder a su base (por ejemplo, una montaña o un edificio al otro lado de un río). Consiste en realizar dos mediciones del ángulo de elevación desde dos puntos distintos separados por una distancia conocida $d$. Esto genera un sistema de ecuaciones con la tangente: $\begin{cases} \text{tg } \alpha = \frac{h}{x+d} \\ \text{tg } \beta = \frac{h}{x} \end{cases}$ Donde $h$ es la altura y $x$ la distancia desconocida desde la segunda observación a la base.

En cualquier triángulo de lados $a, b, c$ y ángulos opuestos $A, B, C$, se cumple: $\frac{a}{\text{sen } A} = \frac{b}{\text{sen } B} = \frac{c}{\text{sen } C}$ Este teorema se aplica cuando conocemos una "pareja completa" (lado y su ángulo opuesto) y cualquier otro dato. También es útil porque cada fracción es igual al diámetro ($2R$) de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Es una generalización del Teorema de Pitágoras para cualquier triángulo: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C$ Se utiliza principalmente en dos casos:

1. Cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
2. Cuando conocemos los tres lados y queremos hallar los ángulos.

Para resolver cualquier triángulo, el orden lógico es:

1. Analizar los datos: ¿Tengo una pareja lado-ángulo opuesto? Si es sí → Teorema del Seno. Si es no → Teorema del Coseno.
2. Suma de ángulos: Recordar siempre que $A + B + C = 180^\circ$.
3. Verificación: El lado mayor siempre debe ser opuesto al ángulo mayor.

Además de la fórmula clásica ($Base \cdot Altura / 2$), la trigonometría nos ofrece una fórmula muy útil cuando no conocemos la altura: $\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \text{sen } C$ El área de un triángulo es igual al semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

La trigonometría permite la triangulación, técnica usada para cartografiar territorios. Si queremos medir la distancia entre dos puntos $A$ y $B$ separados por un obstáculo, podemos elegir un punto $C$ visible desde ambos, medir las distancias $AC, BC$ y el ángulo en $C$, y aplicar el Teorema del Coseno.

Cualquier polígono puede descomponerse en triángulos.

• En polígonos regulares, podemos dividir la figura en $n$ triángulos isósceles iguales.
• El ángulo central será $360/n$.
• La apotema se calcula mediante la tangente del ángulo mitad, relacionándola con la mitad del lado.

En física, las magnitudes vectoriales (como la fuerza o la velocidad) se descomponen usando trigonometría:

• Planos inclinados: El peso de un objeto se descompone en una fuerza paralela al plano ($P \cdot \text{sen } \alpha$) y otra perpendicular ($P \cdot \cos \alpha$).
• Vectores: Si un proyectil se lanza con velocidad $v$ y ángulo $\alpha$, su velocidad horizontal es $v_x = v \cdot \cos \alpha$ y su velocidad vertical es $v_y = v \cdot \text{sen } \alpha$.