Álgebra: ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Las ecuaciones polinómicas son expresiones de la forma $P(x) = 0$. Dependiendo del grado del polinomio, utilizaremos distintas estrategias:

1. Segundo grado: Se resuelven mediante la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina el número de soluciones reales.
2. Grado superior a dos: Utilizamos la factorización. El método principal es la Regla de Ruffini para encontrar raíces enteras entre los divisores del término independiente.
3. Relaciones entre raíces y coeficientes: Para una ecuación $ax^2 + bx + c = 0$, la suma de las raíces es $x_1 + x_2 = -b/a$ y el producto es $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
4. Ecuaciones bicuadradas: Tienen la forma $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Se resuelven mediante el cambio de variable $z = x^2$, transformándola en una ecuación de segundo grado en $z$. Tras hallar $z$, debemos deshacer el cambio: $x = \pm \sqrt{z}$.

Son aquellas donde la incógnita aparece en el denominador. El paso crítico es identificar el dominio, es decir, los valores que hacen que cualquier denominador sea cero, ya que estos no pueden ser soluciones.

• Procedimiento:
  1. Calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
  2. Multiplicar toda la ecuación por el mcm para eliminar fracciones.
  3. Resolver la ecuación resultante (normalmente polinómica).
  4. Validación: Es obligatorio comprobar que las soluciones obtenidas no anulen ningún denominador original. Si lo hacen, se denominan raíces extrañas y deben descartarse.

Contienen la incógnita bajo el signo de la raíz. Para resolverlas, debemos aislar el radical en un miembro de la ecuación.

• Pasos clave:
  1. Aislamiento: Dejar una raíz sola en un lado.
  2. Elevación: Elevar ambos miembros al cuadrado (o al índice de la raíz).
  3. Repetición: Si quedan más raíces, repetir el proceso.
  4. Comprobación: Al elevar a una potencia par, pueden introducirse soluciones falsas. Es estrictamente obligatorio comprobar cada solución en la ecuación original.

La incógnita se encuentra en el exponente. Existen tres métodos principales según la estructura:

• Igualación de bases: Si podemos escribir ambos lados como la misma base ($a^x = a^k$), entonces $x = k$.
• Cambio de variable: Útil en formas como $a^{2x} + a^x + c = 0$. Hacemos $u = a^x$ para obtener una ecuación cuadrática.
• Uso de logaritmos: Cuando las bases no son iguales ni reducibles (ej. $2^x = 7$), aplicamos logaritmos en ambos lados: $x \log 2 = \log 7 \Rightarrow x = \frac{\log 7}{\log 2}$.

La incógnita aparece dentro de un logaritmo. La estrategia consiste en condensar los logaritmos usando sus propiedades:

1. $\log A + \log B = \log(A \cdot B)$
2. $\log A - \log B = \log(A / B)$
3. $n \cdot \log A = \log(A^n)$

Una vez que tenemos $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$, igualamos los argumentos: $f(x) = g(x)$. El argumento de un logaritmo siempre debe ser mayor que cero; cualquier solución que haga el argumento negativo o cero debe ser descartada.

En expresiones complejas como $3^{x+1} + 3^x + 3^{x-1} = 39$, el cambio de variable facilita la visión. En este caso, $3^x \cdot 3 + 3^x + 3^x/3 = 39$. Si hacemos $t = 3^x$, la ecuación se vuelve lineal: $3t + t + t/3 = 39$. Tras hallar $t$, resolvemos $3^x = t$ usando logaritmos si es necesario.

Para sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, el método de Gauss es el más eficiente. Consiste en transformar el sistema en uno triangular equivalente mediante operaciones elementales:

• Multiplicar una fila por un número no nulo.
• Sumar o restar filas entre sí.

El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite clasificar el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$):

• $Rg(A) = Rg(A^*) = n \Rightarrow$ Sistema Compatible Determinado (SCD): Solución única.
• $Rg(A) = Rg(A^*) < n \Rightarrow$ Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Infinitas soluciones.
• $Rg(A) \neq Rg(A^*) \Rightarrow$ Sistema Incompatible (SI): Sin solución.

Son sistemas donde al menos una ecuación no es de primer grado (presencia de $x^2$, $xy$, $1/x$, etc.). No hay un método universal, pero el más común es el de sustitución.

• Ejemplo: Un sistema formado por una recta y una circunferencia. Sustituimos la $y$ de la recta en la ecuación de la circunferencia para obtener una ecuación de segundo grado.
• Interpretación geométrica: Las soluciones representan los puntos de corte entre las figuras geométricas representadas.

Se resuelven aplicando las propiedades vistas anteriormente para "limpiar" las variables.

• En sistemas logarítmicos, aplicamos propiedades para llegar a un sistema lineal.
• En sistemas exponenciales, solemos usar cambios de variable como $u = 2^x$ y $v = 3^y$ para transformar el sistema en uno algebraico clásico.

Para resolver $P(x) > 0$ (o $<, \geq, \leq$):

1. Hallamos las raíces del polinomio $P(x) = 0$.
2. Ubicamos las raíces en la recta real, dividiéndola en intervalos.
3. Estudio del signo: Tomamos un valor de prueba en cada intervalo para ver si el polinomio es positivo o negativo.
4. La solución se expresa en notación de intervalos.

Tienen la forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0$.

• Debemos considerar tanto las raíces del numerador (donde la expresión vale 0) como las del denominador (donde la expresión no existe, asíntotas).
• Importante: Los puntos que anulan el denominador nunca se incluyen en la solución (siempre paréntesis abierto), independientemente del signo $\leq$ o $\geq$.

Consisten en varias inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.

1. Resolvemos cada inecuación por separado.
2. Buscamos la intersección de los conjuntos solución.
3. Si no hay puntos comunes, el sistema no tiene solución.

Representan regiones del plano. La expresión $ax + by < c$ se resuelve:

1. Dibujando la recta $ax + by = c$.
2. Eligiendo un punto de prueba (normalmente el $(0,0)$) para ver si cumple la desigualdad.
3. Sombreado de la región (semiplano) que contiene las soluciones.

La resolución de problemas sigue un protocolo riguroso:

1. Definición de variables: ¿Qué me preguntan? Asignar $x, y, z$.
2. Traducción: Pasar del lenguaje natural ("el doble de la edad...") al lenguaje algebraico ($2x$).
3. Resolución: Elegir el método más sencillo (Gauss, sustitución, etc.).
4. Análisis crítico: ¿Tiene sentido el resultado? (Ej: una longitud no puede ser negativa).

• Mezclas: Se basan en la conservación de la cantidad: $C_1 \cdot V_1 + C_2 \cdot V_2 = C_{final} \cdot V_{total}$.
• Móviles: Basados en la fórmula $d = v \cdot t$. Es útil dibujar esquemas de los trayectos.
• Trabajo: Si una máquina tarda $t$ horas, su tasa de trabajo es $1/t$ por hora. El trabajo combinado se suma: $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_{total}}$.

Es la introducción a la programación lineal.

• Región factible: Es la zona del plano que cumple todas las restricciones (inecuaciones) del problema.
• Vértices: Los puntos de corte de las rectas que limitan la región.
• Optimización: El valor máximo o mínimo de una función objetivo suele encontrarse en uno de los vértices de la región factible.