Programación lineal bidimensional

Una inecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma $ax + by \leq c$ (o con los símbolos $<, >, \geq$). A diferencia de las ecuaciones, cuya solución es una recta, la solución de una inecuación es un semiplano.

1. Recta frontera: Para resolverla, primero dibujamos la recta $ax + by = c$. Si la desigualdad es estricta ($<$ o $>$), la recta se dibuja discontinua; si es no estricta ($\leq$ o $\geq$), se dibuja continua.
2. Punto de prueba: Para saber qué lado de la recta es la solución, elegimos un punto que no esté en la recta (habitualmente el $(0,0)$). Si al sustituir las coordenadas en la inecuación esta se cumple, el semiplano que contiene a ese punto es la solución.
3. El semiplano solución es el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ que satisfacen la desigualdad.

Cuando tenemos varias inecuaciones a la vez, buscamos la intersección de todos los semiplanos. El área resultante donde coinciden todas las soluciones se denomina región factible.

Para representarla gráficamente:

• Se dibujan todas las rectas frontera en un mismo eje de coordenadas.
• Se identifica mediante flechas o sombreado la dirección de cada inecuación.
• El recinto común es la zona que cumple todas las condiciones simultáneamente.

Dependiendo de las restricciones, el recinto puede presentar diferentes formas:

• Recinto acotado: Es un polígono cerrado. En este caso, siempre existirán un máximo y un mínimo para cualquier función objetivo.
• Recinto no acotado: La región se extiende infinitamente en alguna dirección. Aquí, puede que no exista un valor máximo o mínimo.
• Conjuntos convexos: Los recintos de programación lineal son siempre convexos, lo que significa que si tomas dos puntos cualesquiera del recinto, el segmento que los une está totalmente contenido en él. Esta propiedad garantiza que el óptimo se encuentre en la periferia del recinto.

El primer paso para resolver un problema real es definir qué queremos decidir.

• Variables de decisión ($x, y$): Representan las cantidades que debemos determinar (ej. número de productos A y B).
• Restricciones de no negatividad: En la mayoría de problemas sociales o económicos, las variables no pueden ser negativas ($x \geq 0, y \geq 0$), lo que nos sitúa en el primer cuadrante.
• Restricciones de recursos: Son las limitaciones físicas o económicas (horas de trabajo, presupuesto, stock).

Es la función que queremos optimizar: $f(x, y) = ax + by$.

• Coeficientes de coste o beneficio: Los valores $a$ y $b$ representan la ganancia o el coste unitario de cada variable.
• Linealidad: Tanto las restricciones como la función objetivo deben ser de primer grado (no puede haber $x^2$ o $xy$).

Es crucial saber interpretar las expresiones del enunciado para no errar en el planteamiento:

Una vez planteadas las inecuaciones, procedemos a su dibujo. Es recomendable usar colores o texturas diferentes para cada restricción. La región factible contiene todos los puntos que son "candidatos" a ser la mejor solución.

Los puntos clave de la región factible son sus vértices (esquinas). Para hallarlos, debemos resolver los sistemas de ecuaciones lineales formados por las rectas que se cortan en ese punto.

• Si el vértice está sobre un eje, una de las coordenadas será $0$.
• Si es la intersección de dos restricciones, usamos el método de sustitución, igualación o reducción. Es vital calcular con precisión las coordenadas de los vértices, ya que la solución óptima será uno de ellos.

Este método visual consiste en representar la función objetivo igualada a una constante $k$: $ax + by = k$.

• Se dibuja la recta para un valor de $k$ arbitrario.
• Se desplaza paralelamente la recta en la dirección de crecimiento (si maximizamos) o decrecimiento (si minimizamos).
• El último punto de la región factible que toca la recta antes de salir de ella es el punto óptimo.

Este teorema establece que, si existe una solución óptima única para un problema de programación lineal, esta se encuentra necesariamente en un vértice del recinto. Si el óptimo no es único, habrá al menos dos vértices que den el mismo valor máximo o mínimo.

Pasos para la evaluación:

1. Calcular las coordenadas de todos los vértices.
2. Sustituir cada vértice en la función objetivo $f(x, y)$.
3. Comparar los resultados y seleccionar el valor mayor (máximo) o menor (mínimo).

A veces, la recta de nivel de la función objetivo tiene la misma pendiente que una de las restricciones. En este caso:

• Si dos vértices adyacentes dan el mismo valor óptimo, todos los puntos del segmento que los une también son soluciones óptimas.
• Esto se conoce como infinitas soluciones. Es una situación común en la vida real donde se puede elegir entre varias opciones con el mismo beneficio.

Un problema puede no tener solución por dos motivos:

1. Incompatibilidad: Las restricciones son contradictorias (ej. $x > 10$ y $x < 5$). La región factible es el conjunto vacío.
2. No acotación: Si la región está abierta y la función objetivo puede crecer (o decrecer) indefinidamente en esa dirección, el problema no tiene un máximo (o mínimo) finito.

Resolver el álgebra no es el final. Debemos volver al contexto del problema:

• Significado físico: ¿Tiene sentido producir 4,5 coches? Si las variables deben ser enteras, estaríamos ante programación lineal entera (aunque en 2º de Bachillerato solemos trabajar con valores continuos).
• Análisis de holgura: Si en el punto óptimo una restricción no se cumple con igualdad (ej. usamos 80 horas de 100 disponibles), decimos que hay un recurso sobrante.
• Toma de decisiones: El modelo matemático proporciona la base objetiva para justificar una estrategia empresarial o social.