Funciones: características y gráficas

Una función es una relación entre dos magnitudes (o variables), de tal manera que a cada valor de la primera (variable independiente) le corresponde un único valor de la segunda (variable dependiente).

• Variable independiente ($x$): Es la que fijamos libremente. Se representa en el eje horizontal (eje de abscisas).
• Variable dependiente ($y$ o $f(x)$): Es la que depende del valor de la $x$. Se representa en el eje vertical (eje de ordenadas).

Relación funcional vs. no funcional: Para que sea función, a cada $x$ le debe tocar solo una $y$. Si al trazar una línea vertical sobre una gráfica esta corta en dos o más puntos, no es una función.

Podemos expresar una misma relación de cuatro maneras distintas:

1. Enunciado verbal: "El coste de un taxi es de 3€ por bajada de bandera y 2€ por cada kilómetro recorrido".
2. Tabla de valores: Una lista organizada de pares $(x, y)$.
   • Si $x=0, y=3$
   • Si $x=1, y=5$
3. Expresión algebraica (Fórmula): Es la regla matemática. En el ejemplo anterior: $f(x) = 2x + 3$.
4. Gráfica: Representación en los ejes cartesianos que permite ver el comportamiento de un vistazo.

• Dominio ($Dom f$): Es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la función existe.
  • Ejemplo: En $f(x) = \frac{1}{x}$, el dominio son todos los reales excepto el 0, porque no se puede dividir por cero.
• Recorrido o Imagen ($Im f$): Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente $y$.

El dominio se mira en el eje X (izquierda a derecha) y el recorrido en el eje Y (abajo a arriba).

---

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel. Si presenta interrupciones, decimos que es discontinua.

Tipos de discontinuidades comunes:

• Salto finito: La función termina en un punto y empieza en otro a distinta altura.
• Punto vacío: La función es continua pero falta un punto específico o este está desplazado.
• Salto infinito: La gráfica se escapa hacia el infinito (asíntotas).

Los puntos de corte son las coordenadas donde la gráfica toca los ejes cartesianos.

1. Corte con el eje OX (Abscisas): Ocurre cuando $y = 0$. Para hallarlos, resolvemos la ecuación $f(x) = 0$. Los puntos son de la forma $(x, 0)$.
2. Corte con el eje OY (Ordenadas): Ocurre cuando $x = 0$. Calculamos $f(0)$. Una función solo puede tener un único punto de corte con el eje Y, de la forma $(0, y)$.

---

La monotonía describe cómo varía la $y$ cuando aumentamos la $x$. Siempre analizamos la gráfica de izquierda a derecha:

• Creciente: Si al aumentar $x$, aumenta $y$.
• Decreciente: Si al aumentar $x$, disminuye $y$.
• Constante: Si al variar $x$, el valor de $y$ se mantiene igual (línea horizontal).

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se expresan siempre utilizando los valores del eje X.

Son los puntos donde la función cambia su comportamiento:

• Máximo relativo: Es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer. Es la "cima de una montaña".
• Mínimo relativo: Es un punto donde la función pasa de decrecer a crecer. Es el "fondo de un valle".
• Absolutos: El máximo absoluto es el valor más alto de toda la función, y el mínimo absoluto el más bajo.

---

La curvatura nos indica hacia dónde se "dobla" la gráfica:

• Convexa (forma de U): También llamada cóncava hacia arriba. Si unimos dos puntos de la curva, el segmento queda por encima de ella.
• Cóncava (forma de U invertida): También llamada cóncava hacia abajo. El segmento queda por debajo.
• Punto de inflexión: Es el lugar donde la función cambia de ser cóncava a convexa o viceversa.

Existen dos tipos principales de simetría que facilitan mucho el estudio de funciones:

1. Simetría Par (Respecto al eje Y): La gráfica es como un espejo respecto al eje vertical. Algebraicamente: $f(x) = f(-x)$. Ejemplo: $f(x) = x^2$.
2. Simetría Impar (Respecto al origen): Si giramos la gráfica 180° respecto al punto $(0,0)$, se queda igual. Algebraicamente: $f(-x) = -f(x)$. Ejemplo: $f(x) = x^3$.

Una función es periódica si su comportamiento se repite exactamente cada cierto intervalo de la variable independiente. Ese intervalo mínimo se llama periodo ($T$).

• Fórmula: $f(x) = f(x + T)$
• Ejemplos reales: El movimiento de las manecillas de un reloj, las fases de la luna o los latidos del corazón en un electrocardiograma.

---

Para entender una gráfica en la vida real, debemos seguir estos pasos:

1. Identificar las variables: ¿Qué representa cada eje y en qué unidades están (metros, segundos, euros)?
2. Analizar la escala: No siempre un cuadradito vale 1 unidad.
3. Observar la tendencia: ¿Sube rápido o lento? ¿Se estabiliza en algún punto?

La modelización consiste en pasar de un problema real a una gráfica o fórmula.

• Ejemplo de distancia-tiempo: Si un coche se mueve a velocidad constante, la gráfica será una línea recta. Si se detiene, la gráfica será una línea horizontal. Si acelera, la gráfica se curvará hacia arriba.

A menudo debemos comparar dos servicios o situaciones (ej. dos tarifas de telefonía):

• Punto de intersección: Es donde ambas opciones cuestan lo mismo.
• Análisis de intervalos: Antes del punto de intersección una opción será más barata (estará "por debajo" en la gráfica), y después del punto, la otra será la preferible.

La interpretación correcta de gráficas permite tomar decisiones basadas en datos y no en suposiciones.