Funciones lineales y cuadráticas

En cualquier función trabajamos con dos tipos de variables:

• Variable independiente ($x$): Es la que fijamos libremente (suele representarse en el eje horizontal o de abscisas).
• Variable dependiente ($y$ o $f(x)$): Su valor "depende" de lo que valga la $x$ (se representa en el eje vertical o de ordenadas).

Existen cuatro formas principales de expresar una función:

1. Enunciado: Una descripción verbal (ej. "El precio del taxi es de 2€ por kilómetro").
2. Tabla de valores: Una lista de pares de puntos $(x, y)$.
3. Expresión analítica: La fórmula matemática, como $y = 2x$.
4. Gráfica: La representación visual en los ejes cartesianos.

• Dominio ($Dom f$): Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente ($x$). En una gráfica, lo miramos de izquierda a derecha.
• Recorrido o Imagen ($Im f$): Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente ($y$). En una gráfica, lo miramos de abajo hacia arriba.

El dominio puede estar limitado por la propia naturaleza de la función o por el contexto real (por ejemplo, el tiempo no puede ser negativo).

Para analizar una función, observamos su comportamiento general:

• Continuidad: Una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Si presenta saltos, es discontinua.
• Crecimiento y decrecimiento: Una función crece si al aumentar $x$, aumenta $y$. Decrece si al aumentar $x$, disminuye $y$.
• Máximos y mínimos: Son los "picos" y "valles" de la gráfica. Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer.

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Su expresión analítica es $y = mx$ Donde $m$ es la pendiente. Esta función tiene una característica fundamental: siempre pasa por el origen de coordenadas $(0,0)$.

• Si $m > 0$, la función es creciente.
• Si $m < 0$, la función es decreciente.
• Si $|m|$ es muy grande, la recta es muy inclinada.

Es una generalización de la anterior. Su fórmula es $y = mx + n$

• $m$ (Pendiente): Indica la inclinación. Se calcula como la variación de $y$ dividida por la variación de $x$.
• $n$ (Ordenada en el origen): Es el valor de $y$ cuando $x=0$. Es el punto $(0, n)$ donde la recta corta al eje vertical.

Son un caso especial donde la pendiente es cero ($m = 0$). Su expresión es $y = k$ Su gráfica es una recta horizontal paralela al eje X. En estas funciones, no importa cuánto cambie $x$, el valor de $y$ siempre permanece igual.

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Si conocemos dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$, podemos hallar la ecuación siguiendo estos pasos:

1. Calcular la pendiente ($m$): $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
2. Hallar $n$: Sustituimos uno de los puntos y la $m$ hallada en la fórmula $y = mx + n$ y despejamos $n$.

Dadas dos rectas con pendientes $m_1$ y $m_2$:

• Paralelas: Tienen la misma pendiente ($m_1 = m_2$) pero distinta ordenada en el origen. Nunca se cortan.
• Secantes: Tienen distinta pendiente ($m_1 \neq m_2$). Se cortan en un único punto, que se puede hallar resolviendo el sistema de ecuaciones.

Muchos fenómenos siguen un comportamiento lineal.

• Ejemplo: Una tarifa de móvil que cobra 5€ de cuota fija y 0,10€ por minuto. La función sería $y = 0,10x + 5$.
• Interpolación lineal: Si conocemos dos valores de una función, podemos estimar un valor intermedio suponiendo que el comportamiento entre ellos es una línea recta.

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Es la forma más simple de la parábola.

• Si $a > 0$, la parábola está abierta hacia arriba (convexa).
• Si $a < 0$, la parábola está abierta hacia abajo (cóncava).
• El vértice se encuentra en el origen $(0,0)$ y el eje de simetría es el eje Y.

Su expresión general es $y = ax^2 + bx + c$ Para analizarla, el elemento más importante es el Vértice ($V$), que es el punto máximo o mínimo de la curva.

• La coordenada $x$ del vértice se calcula con la fórmula: ==$x_v = \frac{-b}{2a}$==.
• La coordenada $y$ se obtiene sustituyendo $x_v$ en la función.

Para dibujar una parábola con precisión, seguimos estos pasos:

1. Vértice: Calculamos $x_v$ y $y_v$.
2. Puntos de corte con el eje X: Resolvemos la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$.
3. Punto de corte con el eje Y: Es siempre el punto $(0, c)$.
4. Eje de simetría: Es la recta vertical $x = x_v$.

Las parábolas aparecen en situaciones donde existe un cambio de tendencia (subida y bajada):

• Trayectoria de proyectiles: La altura de un objeto lanzado al aire sigue una función cuadrática. El vértice nos indica la altura máxima.
• Optimización: Calcular las dimensiones de un recinto para que el área sea máxima con un perímetro determinado.
• Economía: A veces, el beneficio de una empresa sube hasta cierto punto de producción y luego empieza a bajar por costes de almacenamiento; ese punto óptimo es el vértice.

Resumen final: Mientras que las funciones lineales representan cambios constantes, las funciones cuadráticas representan procesos que alcanzan valores máximos o mínimos, siendo herramientas fundamentales para la ciencia y la ingeniería.