Le calcul litteral

Une expression littérale est une expression mathématique qui contient des lettres (des "lettres" comme 'x', 'y', 'a', 'b', etc.) en plus des nombres et des signes d'opérations. Ces lettres représentent des nombres dont la valeur peut changer.

• Variable et inconnue :

  • Une variable est une lettre qui peut prendre plusieurs valeurs. Par exemple, dans la formule du périmètre d'un carré $P = 4c$, 'c' est une variable car la longueur du côté peut changer.
  • Une inconnue est une lettre dont on cherche la valeur dans une équation. Par exemple, dans $x + 5 = 10$, 'x' est l'inconnue que l'on doit trouver.

• Exemples simples :

  • $3x + 7$ est une expression littérale.
  • $a - 2b$ est une expression littérale.
  • L'aire d'un rectangle $L \times l$ est aussi une expression littérale.

Pour rendre les expressions littérales plus faciles à lire et à écrire, on utilise des conventions d'écriture simplifiées.

• Suppression du signe 'x' de multiplication :

  • Entre un nombre et une lettre : $3 \times x$ s'écrit $3x$.
  • Entre deux lettres : $a \times b$ s'écrit $ab$.
  • Entre un nombre et une parenthèse : $5 \times (x+2)$ s'écrit $5(x+2)$.
  • Attention : On ne supprime jamais le signe 'x' entre deux nombres (ex: $3 \times 5$ ne s'écrit pas $35$).

• Ordre des termes :

  • Les nombres sont généralement écrits avant les lettres : $x \times 3$ s'écrit $3x$.
  • Les lettres sont souvent écrites par ordre alphabétique : $y \times x$ s'écrit $xy$.
  • Les puissances sont utilisées pour les multiplications répétées : $x \times x$ s'écrit $x^2$.

Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est remplacer chaque lettre par un nombre donné et effectuer les calculs.

• Remplacer la variable par une valeur numérique :

  • Soit l'expression $A = 2x + 5$. Si $x = 3$, on remplace $x$ par $3$ : $A = 2 \times 3 + 5$.
  • Si $B = 3a - b$. Si $a = 4$ et $b = 2$, on remplace : $B = 3 \times 4 - 2$.

• Respecter les priorités opératoires : N'oubliez pas les règles de priorité :

  1. Parenthèses
  2. Exposants
  3. Multiplications et divisions (de gauche à droite)
  4. Additions et soustractions (de gauche à droite)

$3 \times 2^2 - 4 = 3 \times 4 - 4 = 12 - 4 = 8$.

• Applications concrètes : Le calcul littéral est partout !
  • Calculer le prix total de $x$ articles à 5€ l'unité : $5x$.
  • Calculer l'aire d'un triangle de base $b$ et de hauteur $h$ : $\frac{b \times h}{2}$.

Des termes semblables sont des termes qui ont la même partie littérale (les mêmes lettres avec les mêmes exposants). Seuls les coefficients peuvent différer.

• Définition des termes semblables :

  • $5x$ et $2x$ sont des termes semblables car ils ont la même partie littérale 'x'.
  • $3a^2$ et $-7a^2$ sont des termes semblables car ils ont la même partie littérale '$a^2$'.
  • $4x$ et $4x^2$ NE sont PAS des termes semblables car les puissances de 'x' sont différentes.
  • $2ab$ et $5ba$ SONT des termes semblables car $ab = ba$.

• Coefficients : Le nombre devant le terme littéral est appelé le coefficient.

  • Dans $5x$, le coefficient est $5$.
  • Dans $-x$, le coefficient est $-1$.

Pour réduire une somme ou une différence, on regroupe les termes semblables et on additionne ou soustrait leurs coefficients.

• Regrouper les termes semblables : On identifie les groupes de termes qui ont la même partie littérale.

  • Exemple : $3x + 5 + 2x - 1$
    • Termes en $x$: $3x$ et $2x$
    • Termes constants (nombres sans lettre) : $5$ et $-1$

• Additionner/soustraire les coefficients :

  • $(3x + 2x) + (5 - 1)$
  • $(3+2)x + (5-1)$
  • $5x + 4$

• Exemples de réduction :

  • $7a - 3a = (7-3)a = 4a$
  • $4y + 2 - y + 6 = (4y - y) + (2 + 6) = 3y + 8$
  • $5x^2 + 3x - x^2 + 2x = (5x^2 - x^2) + (3x + 2x) = 4x^2 + 5x$

Pour réduire un produit, on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles.

• Multiplication de variables :

  • $x \times x = x^2$
  • $a \times a \times a = a^3$

• Puissances :

  • $x^2 \times x^3 = x^{2+3} = x^5$ (on additionne les exposants)

• Produit de coefficients :

  • $3x \times 2y = (3 \times 2) \times (x \times y) = 6xy$
  • $-4a \times 5a = (-4 \times 5) \times (a \times a) = -20a^2$

La distributivité simple permet de "distribuer" un facteur à plusieurs termes à l'intérieur d'une parenthèse. ==Règle : $k \times (a + b) = k \times a + k \times b$ ou $k(a+b) = ka + kb$==.

• Développer $k(a+b)$ :

  • $3(x+5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15$
  • $2(4y+1) = 2 \times 4y + 2 \times 1 = 8y + 2$

• Développer $k(a-b)$ :

  • $4(x-2) = 4 \times x - 4 \times 2 = 4x - 8$
  • $-5(y-3) = -5 \times y - (-5) \times 3 = -5y + 15$
  • Attention aux signes !

La double distributivité s'applique quand on multiplie deux sommes ou différences entre parenthèses. ==Règle : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$==. Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.

• Développer $(a+b)(c+d)$ :

  • $(x+2)(y+3) = x \times y + x \times 3 + 2 \times y + 2 \times 3 = xy + 3x + 2y + 6$
  • $(x+1)(x+5) = x \times x + x \times 5 + 1 \times x + 1 \times 5 = x^2 + 5x + x + 5$

• Réduire après développement : Après avoir développé, on réduit l'expression en regroupant les termes semblables.

  • $(x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5$
  • $(2x-3)(x+4) = 2x \times x + 2x \times 4 - 3 \times x - 3 \times 4$ $= 2x^2 + 8x - 3x - 12$ $= 2x^2 + 5x - 12$

• Calcul mental : Le développement peut simplifier certains calculs.
  • $102 \times 7 = (100+2) \times 7 = 100 \times 7 + 2 \times 7 = 700 + 14 = 714$
• Preuves d'égalités : On peut développer une expression pour montrer qu'elle est égale à une autre.
• Résolution de problèmes : Le développement est une étape clé dans la résolution de nombreux problèmes algébriques.

Pour factoriser, il faut trouver un élément (nombre ou lettre) qui est présent dans tous les termes de l'expression. C'est le facteur commun.

• Définition du facteur commun : Un facteur commun est un terme qui "multiplie" chaque partie d'une somme ou d'une différence.
• Recherche du facteur commun :
  • Dans $3x + 15$, le facteur commun est $3$ car $15 = 3 \times 5$.
  • Dans $7a - 7b$, le facteur commun est $7$.
  • Dans $x^2 + 2x$, le facteur commun est $x$ car $x^2 = x \times x$.
• Facteur commun numérique ou littéral : Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une combinaison des deux.
  • $10x - 5y$: facteur commun $5$.
  • $ax + ay$: facteur commun $a$.
  • $6x^2 + 9x$: facteur commun $3x$. ($6x^2 = 3x \times 2x$ et $9x = 3x \times 3$).

Une fois le facteur commun identifié, on l'écrit devant une parenthèse, et à l'intérieur de la parenthèse, on met ce qui reste de chaque terme. ==Règle : $ka + kb = k(a+b)$ ou $ka - kb = k(a-b)$==.

• Mettre en évidence le facteur commun :

  • Factoriser $4x + 12$:
    • Facteur commun est $4$ car $12 = 4 \times 3$.
    • $4x + 12 = 4 \times x + 4 \times 3 = 4(x+3)$.
  • Factoriser $5y - 10$:
    • Facteur commun est $5$.
    • $5y - 10 = 5 \times y - 5 \times 2 = 5(y-2)$.
  • Factoriser $x^2 - 3x$:
    • Facteur commun est $x$.
    • $x^2 - 3x = x \times x - 3 \times x = x(x-3)$.

• Vérification par développement : Pour être sûr de votre factorisation, vous pouvez toujours redévelopper l'expression pour voir si vous retrouvez l'expression de départ.

  • $4(x+3) = 4x + 12$. C'est correct !

• Simplification d'expressions : La factorisation peut aider à simplifier des fractions littérales.
• Résolution d'équations (introduction) : En 3ème, vous utiliserez la factorisation pour résoudre des équations de type $x^2 = ax$.
• Calculs astucieux :
  • $17 \times 23 + 17 \times 7 = 17 \times (23+7) = 17 \times 30 = 510$. C'est plus simple qu'effectuer les deux multiplications séparément.

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent représentées par 'x'). Le but est de trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

• Définition d'une équation : $2x + 3 = 7$ est une équation.
• Membre gauche et membre droit :
  • Le membre gauche est l'expression à gauche du signe '=' ($2x+3$).
  • Le membre droit est l'expression à droite du signe '=' ($7$).
• Solution d'une équation : La solution d'une équation est la valeur de l'inconnue qui vérifie l'égalité.
  • Pour $2x+3=7$, si $x=2$, alors $2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7$. L'égalité est vraie, donc $x=2$ est la solution.

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue. Pour cela, on utilise des opérations inverses pour "isoler" l'inconnue d'un côté de l'égalité.

• Opérations inverses :

  • L'inverse de l'addition est la soustraction.
  • L'inverse de la soustraction est l'addition.
  • L'inverse de la multiplication est la division.
  • L'inverse de la division est la multiplication.
  • Principe fondamental : Tout ce que l'on fait d'un côté de l'égalité, on doit le faire de l'autre pour maintenir l'équilibre.

• Isoler l'inconnue :

  • $x + 5 = 12$
    • On soustrait $5$ des deux côtés : $x + 5 - 5 = 12 - 5 \implies x = 7$.
  • $x - 3 = 8$
    • On ajoute $3$ des deux côtés : $x - 3 + 3 = 8 + 3 \implies x = 11$.
  • $4x = 20$
    • On divise par $4$ des deux côtés : $\frac{4x}{4} = \frac{20}{4} \implies x = 5$.
  • $\frac{x}{2} = 6$
    • On multiplie par $2$ des deux côtés : $\frac{x}{2} \times 2 = 6 \times 2 \implies x = 12$.

• Vérification de la solution : Toujours vérifier votre solution en la remplaçant dans l'équation de départ.

  • Pour $x+5=12$, si $x=7$, alors $7+5=12$. C'est correct !

Pour les équations plus complexes, on suit des étapes pour regrouper les termes et isoler l'inconnue.

1. Regrouper les termes en x : Mettre tous les termes contenant 'x' d'un côté de l'égalité (généralement à gauche).
2. Regrouper les termes constants : Mettre tous les nombres (termes sans 'x') de l'autre côté de l'égalité (généralement à droite).
3. Appliquer les règles de résolution : Finir par une multiplication ou une division pour trouver 'x'.

• Exemple : Résoudre $5x - 7 = 2x + 8$
  1. Regrouper les $x$ à gauche : Soustraire $2x$ des deux côtés. $5x - 7 - 2x = 2x + 8 - 2x$ $3x - 7 = 8$
  2. Regrouper les constantes à droite : Ajouter $7$ des deux côtés. $3x - 7 + 7 = 8 + 7$ $3x = 15$
  3. Isoler $x$ : Diviser par $3$ des deux côtés. $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ $x = 5$
  • Vérification : $5(5) - 7 = 25 - 7 = 18$. Et $2(5) + 8 = 10 + 8 = 18$. La solution est correcte.

Le calcul littéral est très utile pour résoudre des problèmes concrets.

1. Choisir l'inconnue : Définir clairement ce que représente la lettre 'x' (ou une autre lettre).
   • Exemple : "Soit $x$ le nombre d'années..." ou "Soit $x$ le prix d'un article..."
2. Traduire l'énoncé en équation : Écrire l'égalité mathématique qui représente la situation décrite dans le problème.
   • "Le double d'un nombre augmenté de 5 est égal à 17" se traduit par $2x + 5 = 17$.
3. Résoudre l'équation : Utiliser les techniques vues précédemment.
4. Interpréter la solution : Une fois que vous avez trouvé la valeur de 'x', assurez-vous qu'elle a du sens dans le contexte du problème et formulez une phrase de conclusion.
   • Si $x=6$ et $x$ représentait l'âge, alors "L'âge est 6 ans."