Calcul numérique et calcul littéral

Les nombres relatifs sont des nombres qui peuvent être positifs (avec un signe + ou sans signe) ou négatifs (avec un signe -). Ils permettent de représenter des grandeurs avec une direction (ex: température, altitude, gain/perte).

• Définition d'un nombre relatif: Un nombre relatif est composé d'une distance à zéro (sa valeur numérique sans le signe) et d'un signe (+ ou -).
  • Exemple : $-5$ a pour distance à zéro $5$ et son signe est négatif. $+3$ a pour distance à zéro $3$ et son signe est positif.
• Repérage sur une droite graduée: Les nombres relatifs peuvent être placés sur une droite graduée. Le point d'origine est $0$. Les nombres positifs sont à droite de $0$, les nombres négatifs sont à gauche.
  • Plus un nombre est à droite, plus il est grand.
• Comparaison de nombres relatifs:
  • Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif.
  • Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
  • Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus PETITE distance à zéro.
  • Exemples : $5 > -2$, $7 > 3$, $-1 > -5$.

• Règle d'addition de deux nombres relatifs:
  • Même signe: On additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.
    • Ex: $(+3) + (+5) = +8$ ; $(-3) + (-5) = -8$
  • Signes différents: On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
    • Ex: $(+7) + (-4) = +3$ ; $(-7) + (+4) = -3$
• Règle de soustraction (transformer en addition): Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. L'opposé d'un nombre est le même nombre avec le signe opposé (ex: l'opposé de $+3$ est $-3$, l'opposé de $-5$ est $+5$).
  • Ex: $(+7) - (+4) = (+7) + (-4) = +3$
  • Ex: $(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3$
• Somme algébrique: Une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs. On peut transformer toutes les soustractions en additions, puis regrouper les positifs ensemble et les négatifs ensemble.
  • Ex: $5 - (-3) + (-2) - 6 = 5 + (+3) + (-2) + (-6) = (5+3) + (-2-6) = 8 + (-8) = 0$

• Règle des signes pour la multiplication:
  • $(+) \times (+) = (+)$
  • $(-) \times (-) = (+)$
  • $(+) \times (-) = (-)$
  • $(-) \times (+) = (-)$
  • En bref : si les signes sont identiques, le résultat est positif ; si les signes sont différents, le résultat est négatif.
  • Ex: $(+3) \times (+4) = +12$ ; $(-3) \times (-4) = +12$ ; $(+3) \times (-4) = -12$
• Règle des signes pour la division: Les mêmes règles de signes s'appliquent pour la division.
  • Ex: $(+12) \div (+4) = +3$ ; $(-12) \div (-4) = +3$ ; $(+12) \div (-4) = -3$
• Calculs avec plusieurs opérations: On applique d'abord les règles de signes pour chaque opération, puis on effectue les calculs.
  • Le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif.
  • Le produit d'un nombre impair de facteurs négatifs est négatif.

L'ordre des opérations est crucial pour obtenir le bon résultat.

• Ordre des opérations (PEMDAS/PEDMAS):
  1. Parenthèses (et crochets) : on calcule d'abord ce qui est à l'intérieur.
  2. Exposants (ou Puissances).
  3. Multiplication et Division : de gauche à droite.
  4. Addition et Soustraction : de gauche à droite.
  • Un moyen mnémotechnique en français est "Parentheses, Exposants, Multiplication, Division, Addition, Soustraction" ou "PEMDAS".
• Utilisation des parenthèses: Les parenthèses forcent un ordre de calcul différent. Ce qui est entre parenthèses est prioritaire.
  • Ex: $3 \times (4 + 2) = 3 \times 6 = 18$ (sans parenthèses: $3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14$)
• Calcul d'expressions complexes: Il faut suivre rigoureusement l'ordre des opérations étape par étape.
  • Exemple: $A = 10 - [2 \times (-3) + 4^2]$
    1. $A = 10 - [2 \times (-3) + 16]$ (Puissance)
    2. $A = 10 - [-6 + 16]$ (Multiplication)
    3. $A = 10 - [10]$ (Addition dans la parenthèse)
    4. $A = 0$ (Soustraction)

• Définition d'une fraction: Une fraction est un nombre de la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur. Le dénominateur $b$ doit être différent de $0$. Une fraction représente une division: $\frac{a}{b} = a \div b$.
  • Ex: $\frac{3}{4}$ signifie $3$ divisé par $4$.
• Fractions égales et simplification:
  • On obtient une fraction égale en multipliant ou en divisant le numérateur ET le dénominateur par le même nombre (non nul).
    • Ex: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
  • Simplifier une fraction, c'est la rendre irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD).
    • Ex: $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
• Nombres décimaux et fractions: Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme de fraction (dénominateur $10, 100, 1000$, etc.). Certaines fractions ont une écriture décimale finie, d'autres non (ex: $\frac{1}{3} = 0,333...$).
  • Ex: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.

• Mise au même dénominateur: On cherche un multiple commun aux dénominateurs (le plus petit commun multiple, PPCM, est souvent le plus simple).
  • Ex: pour $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$, le PPCM de $2$ et $3$ est $6$. Donc on transforme : $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ et $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.
• Addition de fractions: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$
  • Ex: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$
• Soustraction de fractions: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$
  • Ex: $\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$
  • N'oubliez pas de simplifier le résultat si possible !

• Multiplication de fractions: On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
  • $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
  • Ex: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$
  • Astuce : simplifier avant de multiplier peut rendre les calculs plus faciles. Ex: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• Inverse d'une fraction: L'inverse d'une fraction $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$). Le produit d'une fraction par son inverse est $1$.
  • Ex: l'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$.
• Division de fractions: Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
  • $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$
  • Ex: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

• Calculer une fraction d'une quantité: Pour calculer $\frac{a}{b}$ d'une quantité $Q$, on multiplie $\frac{a}{b} \times Q$.
  • Ex: Les $\frac{2}{5}$ de $100$ euros = $\frac{2}{5} \times 100 = \frac{200}{5} = 40$ euros.
• Résolution de problèmes concrets: Beaucoup de problèmes de la vie courante impliquent des fractions (partage, proportions, recettes...).
  • Ex: Un gâteau est partagé en $8$ parts. Si tu en manges $3$, tu as mangé $\frac{3}{8}$ du gâteau.
• Enchaînement d'opérations avec des fractions: Appliquer les priorités opératoires (parenthèses, multiplications/divisions, additions/soustractions) vues précédemment.
  • Ex: $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{6}{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

• Définition de $a^n$ ($n$ entier positif): Pour un nombre $a$ et un entier positif $n$, $a^n$ (lire "$a$ puissance $n$" ou "$a$ exposant $n$") est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.
  • $a^n = a \times a \times a \times ... \times a$ ($n$ fois)
  • $a$ est la base, $n$ est l'exposant.
  • Ex: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ ; $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$
• Cas particuliers ($a^0, a^1$):
  • Pour tout nombre $a$ non nul, $a^0 = 1$. (Ex: $5^0=1$, $(-7)^0=1$)
  • Pour tout nombre $a$, $a^1 = a$. (Ex: $5^1=5$)
• Calcul de puissances: On effectue les multiplications successives. Attention aux signes des bases négatives!
  • $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$
  • $-2^3 = -(2 \times 2 \times 2) = -8$ (l'exposant ne porte que sur le 2)

Les puissances de $10$ sont très utilisées en science pour les grands et petits nombres.

• Définition de $10^n$:
  • Si $n$ est un entier positif, $10^n = 1 \underbrace{00...0}_{n \text{ zéros}}$.
    • Ex: $10^3 = 1000$
  • Si $n$ est un entier négatif, $10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0,\underbrace{00...0}_{n-1 \text{ zéros}}1$.
    • Ex: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
• Écriture décimale des puissances de 10:
  • $10^0 = 1$
  • $10^1 = 10$
  • $10^2 = 100$
  • $10^{-1} = 0,1$
  • $10^{-3} = 0,001$
• Utilisation dans les grands et petits nombres: Elles permettent de simplifier l'écriture de nombres très grands ou très petits.
  • Ex: La vitesse de la lumière est environ $300\,000\,000$ m/s, soit $3 \times 10^8$ m/s.
  • Le diamètre d'un atome est environ $0,000\,000\,000\,1$ m, soit $10^{-10}$ m.

• Produit de puissances de même base: Pour multiplier des puissances ayant la même base, on additionne les exposants.
  • $a^n \times a^m = a^{n+m}$
  • Ex: $2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$
  • Ex: $10^4 \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)} = 10^2$
• Quotient de puissances de même base: Pour diviser des puissances ayant la même base, on soustrait les exposants.
  • $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (avec $a \neq 0$)
  • Ex: $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$
  • Ex: $\frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$
• Puissance d'une puissance: Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.
  • $(a^n)^m = a^{n \times m}$
  • Ex: $(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$
  • Ex: $(10^3)^{-2} = 10^{3 \times (-2)} = 10^{-6}$
  • Attention : $(a+b)^n \neq a^n + b^n$.

L'écriture scientifique est une manière standardisée d'écrire les nombres.

• Définition de l'écriture scientifique: Un nombre en écriture scientifique est de la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ est un entier relatif.
  • Ex: $3,2 \times 10^5$ ; $-1,5 \times 10^{-3}$
• Conversion d'un nombre en écriture scientifique: On déplace la virgule pour que le nombre $a$ soit entre $1$ et $10$ (ou $-1$ et $-10$). Le nombre de décalages de la virgule donne la valeur de l'exposant $n$.
  • Si la virgule se déplace vers la gauche, $n$ est positif.
  • Si la virgule se déplace vers la droite, $n$ est négatif.
  • Ex: $123\,400 = 1,234 \times 10^5$ (virgule déplacée de 5 rangs vers la gauche)
  • Ex: $0,000\,045 = 4,5 \times 10^{-5}$ (virgule déplacée de 5 rangs vers la droite)
• Calculs avec l'écriture scientifique: On regroupe les parties décimales et les puissances de $10$.
  • Ex: $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^2) = (2 \times 3) \times (10^3 \times 10^2) = 6 \times 10^{3+2} = 6 \times 10^5$
  • Ex: $\frac{8 \times 10^7}{2 \times 10^3} = \frac{8}{2} \times \frac{10^7}{10^3} = 4 \times 10^{7-3} = 4 \times 10^4$

Le calcul littéral utilise des lettres pour représenter des nombres inconnus ou des variables.

• Définition d'une expression littérale: Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres (appelées variables) en plus des nombres et des opérations.
  • Ex: $2x+3$, $a^2-b$, $(x+y)(x-y)$
• Variable et constante:
  • Une variable (souvent représentée par $x, y, a, b...$) est une lettre qui peut prendre différentes valeurs numériques.
  • Une constante est un nombre fixe dans l'expression.
• Simplification d'écriture:
  • On peut omettre le signe de multiplication entre un nombre et une lettre, ou entre deux lettres, ou entre une lettre et une parenthèse.
    • Ex: $2 \times x = 2x$ ; $a \times b = ab$ ; $3 \times (x+y) = 3(x+y)$
  • On écrit le nombre avant la lettre (le coefficient).
    • Ex: $x \times 5 = 5x$
  • $1x$ s'écrit $x$. $-1x$ s'écrit $-x$.
  • On regroupe les termes de même nature (les $x$ avec les $x$, les nombres avec les nombres, les $x^2$ avec les $x^2$).
    • Ex: $3x + 5 + 2x - 1 = (3x+2x) + (5-1) = 5x + 4$

• Remplacer une variable par une valeur: Pour calculer la valeur numérique d'une expression littérale, on remplace chaque variable par la valeur donnée.
  • Ex: Si $x=2$, alors $3x+5 = 3 \times 2 + 5 = 6 + 5 = 11$.
• Calculer la valeur numérique d'une expression: Après substitution, on effectue les calculs en respectant les priorités opératoires.
  • Ex: Calculer $A = x^2 - 4x + 7$ pour $x = -3$.
    • $A = (-3)^2 - 4 \times (-3) + 7$
    • $A = 9 - (-12) + 7$
    • $A = 9 + 12 + 7 = 28$
• Vérification d'égalités: On peut vérifier si une égalité est vraie pour certaines valeurs des variables en calculant chaque membre séparément.
  • Ex: L'égalité $2x+1 = 7$ est-elle vraie pour $x=3$?
    • Membre de gauche: $2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
    • Membre de droite: $7$.
    • Oui, $7=7$, donc l'égalité est vraie pour $x=3$.

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).

• Distributivité simple ($k(a+b)$): Pour développer une expression de la forme $k(a+b)$, on distribue $k$ à $a$ et à $b$.
  • $k(a+b) = k \times a + k \times b = ka + kb$
  • $k(a-b) = k \times a - k \times b = ka - kb$
  • Ex: $3(x+4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12$
  • Ex: $-2(y-5) = (-2) \times y - (-2) \times 5 = -2y + 10$
• Distributivité double ($(a+b)(c+d)$): Pour développer une expression de la forme $(a+b)(c+d)$, on distribue chaque terme de la première parenthèse à chaque terme de la seconde.
  • $(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d = ac + ad + bc + bd$
  • Ex: $(x+2)(x+3) = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3 = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$
• Réduction d'expressions développées: Après avoir développé, on réduit l'expression en regroupant les termes de même nature.
  • Ex: $5(2x-1) - x(x+3) = (10x-5) - (x^2+3x)$
    • $= 10x - 5 - x^2 - 3x$ (attention au signe - devant la parenthèse)
    • $= -x^2 + (10x-3x) - 5$
    • $= -x^2 + 7x - 5$

Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : transformer une somme (ou différence) en un produit.

• Identifier un facteur commun: On cherche un terme (nombre, lettre ou expression) qui est présent dans tous les termes de la somme/différence.
  • Ex: Dans $3x + 12$, le facteur commun est $3$ (car $12 = 3 \times 4$).
  • Ex: Dans $x^2 - 5x$, le facteur commun est $x$.
• Factoriser une expression: Une fois le facteur commun identifié, on l'écrit devant une parenthèse, et à l'intérieur de la parenthèse, on écrit ce qui reste de chaque terme après avoir "enlevé" le facteur commun.
  • $ka + kb = k(a+b)$
  • $ka - kb = k(a-b)$
  • Ex: $3x + 12 = 3(x+4)$
  • Ex: $x^2 - 5x = x(x-5)$
  • Ex: $7x - 7 = 7(x-1)$
• Utilisation de la distributivité inverse: La factorisation est l'application de la distributivité dans le sens inverse du développement. C'est une compétence essentielle pour la résolution d'équations plus complexes.

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues.

• Définition d'une équation: Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ces inconnus sont généralement désignés par des lettres (souvent $x$).
  • Ex: $x+5=12$ ; $2y-3=7$
• Solution d'une équation: Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.
  • Ex: Pour $x+5=12$, la solution est $x=7$ car $7+5=12$.
• Équations du type $x+a=b$ et $x-a=b$:
  • Pour $x+a=b$, on soustrait $a$ des deux côtés: $x = b-a$.
  • Pour $x-a=b$, on ajoute $a$ des deux côtés: $x = b+a$.
  • Le principe est de faire la même opération des deux côtés de l'égalité pour maintenir l'équilibre.
  • Ex: $x+3=8 \Rightarrow x=8-3 \Rightarrow x=5$
  • Ex: $x-2=4 \Rightarrow x=4+2 \Rightarrow x=6$

• Équations du type $ax=b$ et $x/a=b$:
  • Pour $ax=b$ (avec $a \neq 0$), on divise par $a$ des deux côtés: $x = \frac{b}{a}$.
  • Pour $\frac{x}{a}=b$ (avec $a \neq 0$), on multiplie par $a$ des deux côtés: $x = b \times a$.
  • Ex: $3x=15 \Rightarrow x=\frac{15}{3} \Rightarrow x=5$
  • Ex: $\frac{x}{4}=2 \Rightarrow x=2 \times 4 \Rightarrow x=8$
• Résolution par opérations inverses: Pour isoler l'inconnue, on effectue les opérations "contraires" (inversement) de celles présentes dans l'équation.
  • L'inverse de l'addition est la soustraction.
  • L'inverse de la soustraction est l'addition.
  • L'inverse de la multiplication est la division.
  • L'inverse de la division est la multiplication.
  • Ex: $2x+5=11$
    1. $2x = 11-5$ (on soustrait 5)
    2. $2x = 6$
    3. $x = \frac{6}{2}$ (on divise par 2)
    4. $x = 3$
• Vérification de la solution: Une fois la solution trouvée, il est bon de la vérifier en la remplaçant dans l'équation de départ. Si l'égalité est vraie, la solution est correcte.
  • Ex: Pour $2x+5=11$, si $x=3$: $2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11$. L'égalité est vérifiée.

Traduire un problème concret en langage mathématique est une compétence essentielle.

• Traduire un problème en équation:
  1. Choisir l'inconnue: Identifier ce que l'on cherche et lui attribuer une lettre (souvent $x$).
  2. Exprimer les données: Écrire les informations du problème en fonction de cette inconnue.
  3. Écrire l'équation: Traduire la relation d'égalité donnée par le problème.
• Résoudre l'équation: Appliquer les techniques de résolution vues précédemment.
• Interpréter la solution dans le contexte du problème: Ne pas oublier de donner une réponse claire et formulée en fonction de la question posée initialement.
  • Exemple de problème: "J'ai 5 bonbons. Si j'en achète un certain nombre, j'en aurai 12. Combien en ai-je acheté ?"
    1. Inconnue: Soit $x$ le nombre de bonbons achetés.
    2. Équation: $5 + x = 12$
    3. Résolution: $x = 12 - 5 \Rightarrow x = 7$
    4. Interprétation: J'ai acheté 7 bonbons.