La divisibilité et les nombres premiers

En mathématiques, la divisibilité est une notion fondamentale. On dit qu'un nombre entier $a$ est divisible par un nombre entier $b$ (non nul) si le résultat de la division de $a$ par $b$ est un nombre entier, et que le reste de cette division est nul.

C'est ce qu'on appelle la division euclidienne. Si $a \div b$ donne un quotient entier $q$ et un reste $r$ tel que $a = b \times q + r$, alors $a$ est divisible par $b$ si et seulement si $r=0$.

Quand $a$ est divisible par $b$, on peut dire :

• $b$ est un diviseur de $a$.
• $a$ est un multiple de $b$.
• $a$ est divisible par $b$.
• $b$ divise $a$.

Exemple : $12 \div 3 = 4$ avec un reste de $0$. Donc, $12$ est divisible par $3$. $3$ est un diviseur de $12$. $12$ est un multiple de $3$.

Les critères de divisibilité sont des astuces pour savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division.

• Critère de divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par $2$ s'il est un nombre pair, c'est-à-dire si son chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$. Exemples : $24$ (se termine par $4$), $130$ (se termine par $0$).

• Critère de divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$. Exemples : $35$ (se termine par $5$), $210$ (se termine par $0$).

• Critère de divisibilité par 10 : Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$. Exemples : $70$ (se termine par $0$), $500$ (se termine par $0$).

Ces critères sont basés sur la somme des chiffres du nombre.

• Critère de divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$. Exemple : Pour $123$. Somme des chiffres : $1+2+3 = 6$. Comme $6$ est un multiple de $3$ ($3 \times 2 = 6$), alors $123$ est divisible par $3$. ($123 \div 3 = 41$).

• Critère de divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$. Exemple : Pour $459$. Somme des chiffres : $4+5+9 = 18$. Comme $18$ est un multiple de $9$ ($9 \times 2 = 18$), alors $459$ est divisible par $9$. ($459 \div 9 = 51$). Attention : Si un nombre est divisible par $9$, il est aussi divisible par $3$ (car tous les multiples de $9$ sont aussi des multiples de $3$). L'inverse n'est pas toujours vrai !

• Critère de divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de $4$. Exemples :
  • Pour $124$. Les deux derniers chiffres forment $24$. $24$ est un multiple de $4$ ($4 \times 6 = 24$). Donc $124$ est divisible par $4$. ($124 \div 4 = 31$).
  • Pour $300$. Les deux derniers chiffres forment $00$. $00$ est un multiple de $4$ ($4 \times 0 = 0$). Donc $300$ est divisible par $4$. ($300 \div 4 = 75$).
  • Pour $518$. Les deux derniers chiffres forment $18$. $18$ n'est pas un multiple de $4$. Donc $518$ n'est pas divisible par $4$.

Les multiples d'un nombre s'obtiennent en multipliant ce nombre par n'importe quel nombre entier ($0, 1, 2, 3, ...$). Un nombre a une infinité de multiples.

Pour trouver les multiples d'un nombre, on utilise la table de multiplication ou on continue à ajouter le nombre à lui-même.

Exemple : Multiples de $7$ : $7 \times 0 = 0$ $7 \times 1 = 7$ $7 \times 2 = 14$ $7 \times 3 = 21$ $7 \times 4 = 28$ ... La liste des multiples de $7$ est : $\{0, 7, 14, 21, 28, ...\}$.

Les diviseurs d'un nombre sont les nombres entiers par lesquels on peut diviser ce nombre pour obtenir un reste nul. Un nombre a un nombre fini de diviseurs.

Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre :

1. On essaie de diviser le nombre par tous les entiers successifs, à partir de $1$.
2. On s'arrête lorsque le quotient devient inférieur au diviseur.
3. Chaque fois que la division est exacte, le diviseur et le quotient sont des diviseurs du nombre. Ils forment une paire de diviseurs.

Exemple : Recherche des diviseurs de $18$.

• $18 \div 1 = 18$ (donc $1$ et $18$ sont des diviseurs)
• $18 \div 2 = 9$ (donc $2$ et $9$ sont des diviseurs)
• $18 \div 3 = 6$ (donc $3$ et $6$ sont des diviseurs)
• $18 \div 4 \approx 4,5$ (pas un diviseur)
• $18 \div 5 \approx 3,6$ (pas un diviseur)
• $18 \div 6 = 3$ (on l'a déjà trouvé, et le quotient $3$ est plus petit que le diviseur $6$, on peut s'arrêter).

Les diviseurs de $18$ sont : $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

Un nombre parfait est un nombre entier positif qui est égal à la somme de ses diviseurs propres (c'est-à-dire tous ses diviseurs sauf lui-même). C'est une curiosité mathématique !

Exemple : Le nombre $6$. Ses diviseurs sont : $1, 2, 3, 6$. Ses diviseurs propres sont : $1, 2, 3$. La somme de ses diviseurs propres : $1 + 2 + 3 = 6$. Donc, $6$ est un nombre parfait.

Les prochains nombres parfaits sont $28$, $496$, $8128$, etc. Ils sont rares !

Un nombre premier est un nombre entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.

• $1$ n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur (lui-même).
• Tout nombre entier supérieur à $1$ qui n'est pas premier est appelé un nombre composé.

Exemples :

• $2$ : diviseurs $1, 2$. C'est un nombre premier.
• $3$ : diviseurs $1, 3$. C'est un nombre premier.
• $4$ : diviseurs $1, 2, 4$. Ce n'est PAS un nombre premier (il a $3$ diviseurs). C'est un nombre composé.
• $5$ : diviseurs $1, 5$. C'est un nombre premier.

Il est utile de connaître les premiers nombres premiers : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...$

Le nombre $2$ est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres premiers sont impairs.

Les nombres premiers sont les "briques de base" de tous les autres nombres entiers par la multiplication.

Le crible d'Ératosthène est une méthode simple pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à une certaine limite.

Voici comment construire une liste de nombres premiers jusqu'à $30$ :

1. Écris tous les nombres de $2$ à $30$ : $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30$.
2. Entoure $2$ (c'est le premier nombre premier). Barre tous ses multiples (sauf $2$) : $4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30$.
3. Le premier nombre non barré après $2$ est $3$. Entoure $3$. Barre tous ses multiples (sauf $3$) : $6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$. (Certains sont déjà barrés).
4. Le premier nombre non barré après $3$ est $5$. Entoure $5$. Barre tous ses multiples (sauf $5$) : $10, 15, 20, 25, 30$.
5. Le premier nombre non barré après $5$ est $7$. Entoure $7$. Barre tous ses multiples (sauf $7$) : $14, 21, 28$.
6. On peut s'arrêter car le prochain nombre premier ($11$) a un carré ($121$) qui est supérieur à $30$. En général, on s'arrête quand le nombre premier dont on barre les multiples est supérieur à la racine carrée de la limite (ici $\sqrt{30} \approx 5,47$).

Les nombres non barrés sont les nombres premiers : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.

La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un nombre entier (non premier) comme une multiplication de nombres premiers. Ces nombres premiers sont appelés les facteurs premiers.

Exemple : $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$. Ici, $2$ et $3$ sont les facteurs premiers de $12$.

Le Théorème Fondamental de l'Arithmétique stipule que tout nombre entier supérieur à $1$ peut être décomposé de manière unique en un produit de facteurs premiers (à l'ordre des facteurs près).

Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on utilise des divisions successives par les plus petits nombres premiers possibles.

Étapes :

1. Divise le nombre par le plus petit nombre premier ($2$) si c'est possible.
2. Si ce n'est pas possible, essaie le nombre premier suivant ($3$), puis $5$, $7$, etc.
3. Continue jusqu'à obtenir $1$ comme quotient.

Exemple : Décomposer $60$ en produit de facteurs premiers.

60 | 2  (60 est divisible par 2)
30 | 2  (30 est divisible par 2)
15 | 3  (15 n'est pas divisible par 2, mais par 3)
 5 | 5  (5 n'est pas divisible par 3, mais par 5)
 1 |    (on a atteint 1, c'est terminé)

Donc, $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$. On peut l'écrire sous forme exponentielle : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.

On peut aussi visualiser cela avec un arbre de facteurs :

      60
     /  \
    2    30
        /  \
       2    15
           /  \
          3    5

La décomposition en produit de facteurs premiers est très utile :

• Simplification de fractions : Pour simplifier une fraction, on décompose le numérateur et le dénominateateur en facteurs premiers, puis on élimine les facteurs communs. Exemple : $\frac{12}{18} = \frac{2 \times 2 \times 3}{2 \times 3 \times 3} = \frac{2}{3}$.

• Recherche des diviseurs d'un nombre : Tous les diviseurs d'un nombre peuvent être formés en combinant ses facteurs premiers. Exemple : Pour $12 = 2^2 \times 3$. Les diviseurs sont : $1$ (aucun facteur) $2$ ($2^1$) $3$ ($3^1$) $4$ ($2^2$) $6$ ($2^1 \times 3^1$) $12$ ($2^2 \times 3^1$)

• Compréhension des nombres : Elle aide à comprendre la structure multiplicative des nombres.

Les problèmes de divisibilité apparaissent souvent dans des contextes de partage, de groupement ou d'organisation.

Exemple : "Un fleuriste a $48$ roses et $36$ tulipes. Il veut faire des bouquets identiques contenant le même nombre de chaque fleur, sans qu'il en reste. Combien de bouquets peut-il faire au maximum ?" Pour résoudre ce problème, il faut trouver les diviseurs communs à $48$ et $36$. Diviseurs de $48$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$. Diviseurs de $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. Les diviseurs communs sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Le nombre maximum de bouquets est $12$. Chaque bouquet contiendra $48 \div 12 = 4$ roses et $36 \div 12 = 3$ tulipes.

Les nombres premiers sont souvent utilisés dans des énigmes mathématiques ou des jeux de logique. Exemple : "Je suis un nombre premier entre $20$ et $30$. La somme de mes chiffres est $10$. Qui suis-je ?" Listons les nombres premiers entre $20$ et $30$ : $23, 29$. Somme des chiffres de $23$: $2+3=5$. Non. Somme des chiffres de $29$: $2+9=11$. Non. Ah ! Il n'y a pas de solution à cette énigme telle quelle. Cela montre qu'il faut bien vérifier les propriétés ! (Si la somme était $5$, la réponse serait $23$).

La connaissance des critères de divisibilité et des nombres premiers est très utile pour le calcul mental et l'estimation.

• Pour vérifier rapidement si un nombre est divisible par $2, 3, 4, 5, 9, 10$.
• Pour simplifier des fractions mentalement.
• Pour estimer si un grand nombre est "facilement" décomposable ou s'il pourrait être premier.

Cela développe le sens du nombre et aide à mieux comprendre les relations entre les nombres.