Statistiques et probabilités simples

La statistique est une science qui nous aide à comprendre le monde qui nous entoure. Elle consiste à collecter, organiser, analyser et interpréter des données pour en tirer des conclusions ou faire des prévisions.

Utilité des statistiques dans la vie courante : Les statistiques sont partout !

• Météo : Prévoir s'il va pleuvoir aujourd'hui.
• Sondages : Connaître l'opinion des gens avant une élection.
• Commerce : Savoir quels produits sont les plus vendus.
• Santé : Comprendre l'efficacité d'un médicament.

• Compter le nombre de garçons et de filles dans ta classe.
• Mesurer la taille de tous les élèves de 5ème.
• Recenser les sports préférés des habitants de ta ville.

En statistique, on étudie souvent un grand groupe de personnes ou d'objets.

• La population est l'ensemble de tous les individus ou objets que l'on souhaite étudier. C'est le groupe entier.
  • Exemple : Tous les élèves de France.
• L'échantillon est une petite partie, un sous-ensemble de la population, que l'on sélectionne pour l'étudier. On étudie l'échantillon pour tirer des conclusions sur la population entière.
  • Exemple : Les élèves de 5ème de ton collège.
  • L'échantillon doit être représentatif de la population pour que les conclusions soient valables.

Différence entre population et échantillon :

Le caractère (ou variable statistique) est la propriété ou la caractéristique que l'on étudie sur les individus de la population ou de l'échantillon.

• Caractère qualitatif : C'est une caractéristique qui ne peut pas être mesurée par un nombre. On la décrit avec des mots.
  • Exemples : La couleur des yeux (bleu, vert, marron), le sport préféré (football, natation), la catégorie socio-professionnelle.
• Caractère quantitatif : C'est une caractéristique qui peut être mesurée ou comptée avec des nombres.
  • Exemples : La taille (1,65 m), le nombre de frères et sœurs (2), l'âge (12 ans), la note à un devoir.
  • Les caractères quantitatifs peuvent être discrets (valeurs isolées comme le nombre d'enfants) ou continus (peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle comme la taille). En 5ème, on se concentre sur les bases.

Pour faire des statistiques, il faut d'abord obtenir des informations. C'est le recueil des données.

• Méthodes de collecte :
  • Sondage : On interroge un échantillon de la population. C'est rapide et moins coûteux.
  • Recensement : On interroge ou observe tous les individus de la population. C'est très précis mais long et coûteux.
• Questionnaires simples : Outil courant pour collecter des données. Les questions doivent être claires et précises.
  • Exemple : "Quel est votre fruit préféré ? (a) Pomme (b) Banane (c) Orange (d) Autre"
• Tableaux de données brutes : Une fois collectées, les données sont souvent listées sans organisation particulière.
  • Exemple : Notes obtenues par 10 élèves : 12, 15, 8, 10, 15, 13, 11, 15, 9, 14.

Pour mieux comprendre les données, on les organise dans un tableau.

• L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série de données.
  • L'effectif total est le nombre total d'individus étudiés.
• La fréquence d'une valeur est la proportion de cette valeur par rapport à l'effectif total.
  • Formule : $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$
• Fréquence en pourcentage : On multiplie la fréquence par 100.
  • Formule : $\text{Fréquence en pourcentage} = \text{Fréquence} \times 100$

Construction de tableaux (Exemple : Notes sur 20 de 20 élèves) Notes : 10, 12, 8, 10, 15, 12, 10, 18, 8, 12, 10, 15, 12, 10, 10, 15, 12, 8, 10, 12.

Ces indicateurs sont utiles pour savoir combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale à une certaine valeur.

• L'effectif cumulé d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur.
• La fréquence cumulée d'une valeur est la somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur.

Intérêt des données cumulées : Elles permettent de répondre à des questions comme : "Combien d'élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12 ?"

Ces diagrammes sont utilisés pour représenter des caractères quantitatifs discrets ou qualitatifs.

• Diagramme en bâtons :
  • Utilisé pour des caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets.
  • Chaque "bâton" représente une modalité ou une valeur, sa hauteur correspond à l'effectif ou la fréquence.
  • Les bâtons sont fins et espacés.
  • Construction : Axe horizontal pour les valeurs, axe vertical pour les effectifs/fréquences.
• Histogramme :
  • Utilisé pour des caractères quantitatifs continus (souvent regroupés en classes).
  • Les "barres" sont collées les unes aux autres. La largeur de la barre représente l'étendue de la classe et sa hauteur l'effectif/fréquence.
  • En 5ème, on le rencontre souvent pour des données groupées.
  • Lecture et interprétation : Permet de voir rapidement quelles sont les valeurs ou catégories les plus représentées.

Ces diagrammes sont excellents pour montrer la répartition d'un ensemble en proportions.

• Diagramme circulaire (camembert) : Représente un tout (100%). Chaque "part de gâteau" représente une catégorie, et sa taille est proportionnelle à sa fréquence ou son effectif.
  • Calcul des angles : Pour chaque catégorie, l'angle du secteur est calculé par la formule : $\text{Angle} = \frac{\text{Effectif de la catégorie}}{\text{Effectif total}} \times 360^\circ$ ou $\text{Angle} = \text{Fréquence de la catégorie} \times 360^\circ$
• Diagramme semi-circulaire : Identique au circulaire, mais représente un demi-cercle (180°).
  • Calcul des angles : Utilisez $180^\circ$ au lieu de $360^\circ$.
• Lecture et interprétation : Très visuel pour comparer des proportions. Attention à ne pas utiliser trop de catégories, sinon le graphique devient illisible.

Ces graphiques sont utilisés pour représenter l'évolution d'une quantité en fonction d'une autre, souvent le temps.

• Représentation de données par points : Chaque point sur le graphique correspond à une paire de données (par exemple, année et population, ou temps et température).
  • Les points sont placés dans un repère avec un axe horizontal (souvent le temps ou une variable indépendante) et un axe vertical (la variable étudiée).
• Lecture de nuages de points : On peut souvent relier les points pour montrer une tendance (augmentation, diminution, stabilité).
  • Exemples simples :
    • L'évolution de la taille d'un arbre au fil des ans.
    • La température mesurée chaque heure pendant une journée.
    • Le nombre de livres lus par mois.

Le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent dans une série statistique. C'est la valeur qui a le plus grand effectif.

• Détermination du mode dans une série : Il suffit de compter les occurrences de chaque valeur.
  • Exemple : Notes : 10, 12, 8, 10, 15, 12, 10, 18, 8, 12, 10, 15, 12, 10, 10, 15, 12, 8, 10, 12.
  • La note 10 apparaît 7 fois, la note 12 apparaît 6 fois, etc. Le mode est 10.
• Intérêt du mode : Il indique la valeur la plus "typique" ou la plus fréquente de la série. Une série peut avoir plusieurs modes (multimodale) ou pas de mode du tout si toutes les valeurs apparaissent le même nombre de fois.

La moyenne arithmétique est l'indicateur le plus courant pour représenter le "centre" d'une série de données.

• Calcul de la moyenne simple : On additionne toutes les valeurs et on divise par le nombre total de valeurs.
  • Formule : $\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme de toutes les valeurs}}{\text{Nombre total de valeurs}}$
  • Exemple : Notes : 12, 15, 8, 10, 15, 13, 11, 15, 9, 14. Somme = $12+15+8+10+15+13+11+15+9+14 = 122$ Nombre de valeurs = 10 Moyenne = $122 / 10 = 12,2$
• Calcul de la moyenne pondérée : Si les valeurs sont déjà regroupées avec leurs effectifs, on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l'effectif total.
  • Formule : $\text{Moyenne} = \frac{(v_1 \times e_1) + (v_2 \times e_2) + \dots + (v_k \times e_k)}{e_1 + e_2 + \dots + e_k}$ où $v_i$ est la valeur et $e_i$ son effectif.
  • Exemple (tableau des notes) : Moyenne = $(8 \times 3) + (10 \times 7) + (12 \times 6) + (15 \times 3) + (18 \times 1)$ / 20 Moyenne = $(24 + 70 + 72 + 45 + 18)$ / 20 = $229 / 20 = 11,45$
• Interprétation de la moyenne : Elle donne une idée de la valeur "centrale" ou "moyenne" de la série. Elle est sensible aux valeurs extrêmes (très grandes ou très petites).

L'étendue est une mesure de la dispersion des données. Elle indique l'écart entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite d'une série.

• Définition de l'étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
  • Formule : $\text{Étendue} = \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}$
• Calcul de l'étendue :
  • Exemple : Notes : 12, 15, 8, 10, 15, 13, 11, 15, 9, 14. Valeur maximale = 15 Valeur minimale = 8 Étendue = $15 - 8 = 7$
• Interprétation de l'étendue : Une petite étendue signifie que les données sont regroupées, tandis qu'une grande étendue indique que les données sont très dispersées. Elle ne tient compte que des deux valeurs extrêmes et ignore la répartition des autres données.

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avec certitude, même si on connaît toutes les conditions de réalisation. Le hasard intervient.
  • Exemples :
    • Lancer un dé à six faces : On ne sait pas quel chiffre va tomber (1, 2, 3, 4, 5 ou 6).
    • Lancer une pièce de monnaie : On ne sait pas si ce sera "pile" ou "face".
    • Tirer une carte d'un jeu.
    • Choisir une boule dans une urne.
• Une issue (ou résultat) est un des résultats possibles d'une expérience aléatoire.
  • Exemple (dé) : Obtenir "1" est une issue, obtenir "2" est une autre issue, etc.
• Un événement est un ensemble d'une ou plusieurs issues.
  • Exemple (dé) : "Obtenir un nombre pair" est un événement (qui inclut les issues 2, 4, 6).
  • "Obtenir un 5" est un événement (qui inclut la seule issue 5).

• Événement certain : C'est un événement qui se produit toujours. Sa probabilité est de 1 (ou 100%).
  • Exemple (dé) : "Obtenir un nombre inférieur à 7" est un événement certain.
• Événement impossible : C'est un événement qui ne peut jamais se produire. Sa probabilité est de 0 (ou 0%).
  • Exemple (dé) : "Obtenir un 7" est un événement impossible.
• Événement élémentaire : C'est un événement qui ne contient qu'une seule issue possible.
  • Exemple (dé) : "Obtenir un 3" est un événement élémentaire.

Pour calculer la probabilité d'un événement, on utilise une formule simple, surtout quand toutes les issues ont la même chance de se produire (on parle d'équiprobalité).

• Formule de calcul (cas favorables/cas possibles) : $P(\text{événement}) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables à l'événement}}{\text{Nombre total d'issues possibles}}$
• Probabilité d'un événement : La probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1.
  • 0 signifie impossible, 1 signifie certain.
• Probabilités exprimées en fraction, décimal, pourcentage :
  • Exemple (lancer de dé) :
    • Nombre total d'issues possibles = 6 (les faces 1, 2, 3, 4, 5, 6).
    • Événement A : "Obtenir un 4".
      • Nombre d'issues favorables = 1 (la face 4).
      • $P(A) = \frac{1}{6}$ (fraction) $\approx 0,167$ (décimal) $\approx 16,7 \%$ (pourcentage).
    • Événement B : "Obtenir un nombre pair".
      • Issues favorables = {2, 4, 6}. Nombre d'issues favorables = 3.
      • $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (fraction) $= 0,5$ (décimal) $= 50 \%$ (pourcentage). Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement a de chances de se produire. Plus elle est proche de 0, moins il a de chances.