Organisation et gestion de données, fonctions

Pour comprendre le monde qui nous entoure, on collecte des informations qu'on appelle des données. En statistiques, il y a un vocabulaire précis pour décrire ces données.

• Population : C'est l'ensemble de tous les éléments que l'on étudie. Par exemple, tous les élèves d'un collège, toutes les voitures d'une ville.
• Individu : C'est un élément de la population. Un élève, une voiture.
• Échantillon : C'est une partie de la population que l'on étudie quand la population est trop grande.
• Caractère : C'est la propriété étudiée sur chaque individu. Par exemple, la taille des élèves, la couleur des voitures.
  • Un caractère peut être qualitatif s'il ne peut pas être mesuré par un nombre (ex: couleur des yeux, sport préféré).
  • Un caractère peut être quantitatif s'il peut être mesuré par un nombre (ex: taille, âge, nombre de frères et sœurs).
• Valeur : C'est une modalité que peut prendre le caractère. Pour la couleur des yeux, les valeurs peuvent être "bleu", "marron", "vert". Pour la taille, "1m50", "1m65".
• Effectif : C'est le nombre de fois qu'une valeur ou une modalité apparaît dans la série statistique. Si 10 élèves ont les yeux bleus, l'effectif de la valeur "bleu" est 10.
• Fréquence : C'est la proportion d'une valeur par rapport à l'effectif total. On la calcule par la formule : $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$ La fréquence peut être un nombre décimal, une fraction ou un pourcentage.

Les tableaux de données sont essentiels pour organiser les informations collectées de manière claire et structurée.

• Construction de tableaux : Un tableau doit avoir des titres clairs pour chaque colonne.
  • Exemple : Pour les notes d'une classe.

    Notes	Effectif	Fréquence
    8	2	0,08
    10	5	0,2
    12	8	0,32
    ...	...	...
    Total	25	1

• Regroupement par classes : Quand il y a beaucoup de valeurs différentes pour un caractère quantitatif (par exemple, la taille), on peut regrouper les données par intervalles appelés "classes".
  • Exemple : Tailles des élèves en cm.

    Taille (en cm)	Effectif
    $[140 ; 150[$	5
    $[150 ; 160[$	12
    $[160 ; 170[$	8

    • Le crochet [ signifie que la valeur est incluse, le crochet [ signifie que la valeur est exclue. Donc $[140 ; 150[$ signifie "entre 140 cm inclus et 150 cm exclu".
• Effectifs cumulés, fréquences cumulées :
  • L'effectif cumulé d'une valeur est la somme des effectifs de cette valeur et de toutes les valeurs précédentes. Il permet de savoir combien d'individus ont "au plus" une certaine valeur.
  • La fréquence cumulée est la somme des fréquences de cette valeur et de toutes les fréquences précédentes. Elle peut aussi être calculée en divisant l'effectif cumulé par l'effectif total.
  • Ces indicateurs sont très utiles pour la détermination de la médiane.

Les graphiques permettent de visualiser rapidement les données et de mieux comprendre les tendances.

• Diagrammes en bâtons : Utilisés pour les caractères qualitatifs ou quantitatifs discrets (qui prennent des valeurs isolées, comme le nombre d'enfants). Chaque bâton correspond à une valeur, sa hauteur à l'effectif ou la fréquence.
• Diagrammes circulaires et semi-circulaires : Très utiles pour représenter des proportions (fréquences en pourcentage). Chaque "part de gâteau" représente une catégorie, sa taille est proportionnelle à sa fréquence.
  • Pour calculer l'angle d'une part : $\text{Angle} = \text{Fréquence} \times 360^\circ$ (pour un cercle complet) ou $\text{Fréquence} \times 180^\circ$ (pour un demi-cercle).
• Histogrammes : Utilisés pour les caractères quantitatifs regroupés par classes. C'est une suite de rectangles contigus (qui se touchent). La largeur de chaque rectangle correspond à l'amplitude de la classe, et sa hauteur (ou son aire) à l'effectif ou à la fréquence de la classe. Attention : contrairement aux diagrammes en bâtons, les rectangles se touchent.

La moyenne arithmétique est l'indicateur le plus connu.

• Moyenne simple : On additionne toutes les valeurs et on divise par le nombre total de valeurs.
  • Exemple : Notes 10, 12, 8, 15. Moyenne = $\frac{10+12+8+15}{4} = \frac{45}{4} = 11,25$.
• Moyenne pondérée : Quand les valeurs ont des effectifs différents. On multiplie chaque valeur par son effectif (sa "pondération"), on additionne ces produits, puis on divise par l'effectif total.
  • Formule : $\text{Moyenne} = \frac{(v_1 \times e_1) + (v_2 \times e_2) + ... + (v_k \times e_k)}{e_1 + e_2 + ... + e_k}$ où $v_i$ est la valeur et $e_i$ son effectif.
  • Exemple : 2 élèves ont 8, 5 élèves ont 10, 8 élèves ont 12. Moyenne = $\frac{(8 \times 2) + (10 \times 5) + (12 \times 8)}{2+5+8} = \frac{16 + 50 + 96}{15} = \frac{162}{15} = 10,8$.
• Interprétation de la moyenne : La moyenne représente la valeur qu'aurait chaque individu si la somme totale était répartie équitablement. Elle est sensible aux valeurs extrêmes.

La médiane ($Me$) est la valeur qui partage la série statistique en deux groupes de même effectif : 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et 50% sont supérieures ou égales.

• Définition de la médiane : C'est la valeur centrale d'une série statistique ordonnée.
• Calcul pour une série impaire :
  1. Ordonner la série dans l'ordre croissant.
  2. L'effectif total $N$ est impair. La médiane est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$.
  • Exemple : 5, 8, 10, 12, 15 (N=5). Rang $\frac{5+1}{2} = 3$. La médiane est la 3ème valeur, soit 10.
• Calcul pour une série paire :
  1. Ordonner la série dans l'ordre croissant.
  2. L'effectif total $N$ est pair. La médiane est n'importe quelle valeur entre les deux valeurs centrales, de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$. Généralement, on prend la moyenne de ces deux valeurs.
  • Exemple : 5, 8, 10, 12, 15, 18 (N=6). Rangs $\frac{6}{2} = 3$ et $\frac{6}{2}+1 = 4$. Les valeurs sont 10 et 12. La médiane est $\frac{10+12}{2} = 11$.
  • La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.

Le mode (ou classe modale) est la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif. C'est la valeur la plus fréquente.

• Définition du mode : La valeur la plus représentée dans la série.
• Série unimodale, multimodale :
  • Une série est unimodale si elle a un seul mode.
  • Une série est multimodale si elle a plusieurs modes (plusieurs valeurs avec le même effectif maximal).
• Utilisation du mode : Le mode est utile pour les caractères qualitatifs où la moyenne et la médiane n'ont pas de sens (ex: couleur préférée, mode = bleu si c'est la couleur la plus citée). Il indique la tendance la plus "populaire".

• Processus de transformation : Une fonction est comme une "machine" qui, à un nombre de départ, associe un unique nombre d'arrivée.
  • On lui donne un nombre $x$, elle le transforme et donne un résultat $y$.
• Antécédent, image :
  • Le nombre de départ est appelé antécédent.
  • Le nombre d'arrivée est appelé image.
  • Pour une fonction $f$, si $y$ est l'image de $x$ par $f$, alors $x$ est un antécédent de $y$ par $f$. Attention, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais un antécédent n'a qu'une seule image !
• Notation $f(x)$ : On note l'image de $x$ par la fonction $f$ comme $f(x)$ (lire "f de x").
  • L'écriture $f: x \mapsto y$ signifie "la fonction $f$ qui à $x$ associe $y$".
  • Si $y = 2x+3$, on peut écrire $f(x) = 2x+3$.

Une fonction peut être représentée de plusieurs manières.

• Programme de calcul : C'est une suite d'instructions pour obtenir l'image à partir de l'antécédent.
  • Exemple : "Choisir un nombre, le multiplier par 2, ajouter 3." C'est la fonction $f(x) = 2x+3$.
• Tableau de valeurs : Liste d'antécédents et de leurs images correspondantes.

  $x$	-2	0	1	3
  $f(x)$	-1	3	5	9

• Expression littérale : La formule mathématique qui lie l'antécédent à l'image.
  • Exemple : $f(x) = x^2 - 4$. C'est la représentation la plus précise. Elle permet de calculer l'image de n'importe quel antécédent.

• Calculer l'image d'un nombre : Pour trouver l'image d'un nombre $x_0$ par $f(x)$, il suffit de remplacer $x$ par $x_0$ dans l'expression littérale et de calculer le résultat.
  • Exemple : Soit $f(x) = 2x+3$. L'image de 4 est $f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.
• Déterminer l'antécédent d'un nombre (par lecture ou résolution) :
  • Par lecture : Si on a un tableau de valeurs, on cherche la valeur dans la ligne des images $f(x)$ et on lit l'antécédent correspondant dans la ligne des $x$.
  • Par résolution : Pour trouver l'antécédent d'un nombre $y_0$, on doit résoudre l'équation $f(x) = y_0$.
    • Exemple : Soit $f(x) = 2x+3$. Trouver l'antécédent de 7. $2x+3 = 7$ $2x = 7-3$ $2x = 4$ $x = \frac{4}{2}$ $x = 2$. L'antécédent de 7 est 2.
• Utilisation de la calculatrice : La plupart des calculatrices graphiques permettent de définir une fonction et de calculer des images ou de créer un tableau de valeurs.

Pour représenter une fonction, on utilise un repère.

• Axes des abscisses et des ordonnées :
  • L'axe horizontal est l'axe des abscisses (axe des $x$). Il représente les antécédents.
  • L'axe vertical est l'axe des ordonnées (axe des $y$ ou des $f(x)$). Il représente les images.
• Origine du repère : C'est le point d'intersection des deux axes, noté O, dont les coordonnées sont $(0;0)$.
• Coordonnées d'un point : Chaque point du plan est repéré par un couple de nombres $(x;y)$, où $x$ est l'abscisse (position horizontale) et $y$ est l'ordonnée (position verticale).

La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points $(x; f(x))$ dans un repère.

• Placer des points à partir d'un tableau de valeurs :
  1. Calculer plusieurs images pour différents antécédents (créer un tableau de valeurs).
  2. Chaque couple $(x; f(x))$ forme les coordonnées d'un point à placer dans le repère.
     • Exemple : Pour $f(x) = 2x+3$.

       $x$	-2	0	1	3
       $f(x)$	-1	3	5	9
       On placera les points $(-2;-1)$, $(0;3)$, $(1;5)$, $(3;9)$.

• Relier les points pour former la courbe : Une fois les points placés, on les relie à main levée (ou à la règle si c'est une droite) pour obtenir la courbe de la fonction. Il faut souvent placer assez de points pour avoir une idée précise de la forme de la courbe.
• Interprétation graphique : La courbe montre comment l'image $f(x)$ varie en fonction de l'antécédent $x$.

La représentation graphique permet de lire des images et des antécédents sans calcul.

• Lire l'image d'un nombre sur la courbe :
  1. On se place sur l'axe des abscisses à la valeur de l'antécédent $x$.
  2. On monte ou on descend verticalement jusqu'à la courbe.
  3. De ce point sur la courbe, on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées pour lire l'image $f(x)$.
• Lire les antécédents d'un nombre sur la courbe :
  1. On se place sur l'axe des ordonnées à la valeur de l'image $y$.
  2. On se déplace horizontalement jusqu'à la courbe.
  3. De ce point (ou ces points) sur la courbe, on descend ou on monte verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour lire les antécédents. Attention, une image peut avoir plusieurs antécédents graphiquement.
• Résolution graphique d'équations simples : Pour résoudre $f(x) = k$ graphiquement, on cherche les antécédents de $k$. Pour résoudre $f(x) > k$, on cherche les parties de la courbe où les images sont au-dessus de la valeur $k$.

• Définition $f(x) = ax$ : Une fonction linéaire est une fonction qui à tout nombre $x$ associe le nombre $a \times x$, où $a$ est un nombre fixé (non nul).
  • Exemple : $f(x) = 3x$.
• Coefficient de proportionnalité : Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur de la droite ou le coefficient de proportionnalité. Il indique la "pente" de la droite.
  • Si $x$ double, $f(x)$ double aussi. C'est une situation de proportionnalité.
• Représentation graphique (droite passant par l'origine) : La courbe représentative d'une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l'origine du repère $(0;0)$.
  • Pour tracer une fonction linéaire, il suffit de placer l'origine et un autre point (par exemple, $f(1)=a$).

• Définition $f(x) = ax + b$ : Une fonction affine est une fonction qui à tout nombre $x$ associe le nombre $a \times x + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres fixés.
  • Exemple : $f(x) = 2x+5$.
  • Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où $b=0$.
• Pente et ordonnée à l'origine :
  • Le nombre $a$ est la pente (ou coefficient directeur) de la droite. Il indique l'inclinaison de la droite.
  • Le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'image de 0 ($f(0) = a \times 0 + b = b$). C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
• Représentation graphique (droite) : La courbe représentative d'une fonction affine est toujours une droite.
  • Pour tracer une fonction affine, on peut placer deux points (par exemple, l'ordonnée à l'origine $(0;b)$ et un autre point calculé).

• Modélisation de situations concrètes : Les fonctions linéaires et affines sont utilisées pour décrire de nombreuses situations réelles.
  • Exemple de fonction linéaire : le prix d'un produit en fonction de sa quantité (si le prix est proportionnel à la quantité).
  • Exemple de fonction affine : le coût d'un taxi (prix fixe pour la prise en charge + prix par kilomètre parcouru).
• Comparaison de fonctions : On peut comparer différentes offres ou scénarios modélisés par des fonctions.
  • Exemple : Choisir entre deux forfaits téléphoniques (un avec un coût fixe et un prix par minute, l'autre avec un prix fixe plus élevé mais moins cher à la minute). On trace les deux fonctions et on regarde leurs points d'intersection.
• Résolution de problèmes : Les fonctions permettent de résoudre des problèmes en traduisant les énoncés en équations ou en utilisant les représentations graphiques.