Multiplier un nombre décimal par un nombre entier

La multiplication est une opération. Elle permet de calculer rapidement l'addition répétée d'un même nombre. Par exemple, $3 \times 4$ signifie $4 + 4 + 4$. Les nombres qu'on multiplie s'appellent les facteurs. Le résultat s'appelle le produit. $3 \times 4 = 12$ Ici, 3 et 4 sont les facteurs. 12 est le produit.

Un nombre décimal est un nombre qui a une virgule. Il est composé de deux parties :

• La partie entière (avant la virgule).
• La partie décimale (après la virgule).

Exemple : $12,5$

• 12 est la partie entière.
• 5 est la partie décimale.

Les chiffres après la virgule ont un nom :

• Le 1er chiffre après la virgule, ce sont les dixièmes.
• Le 2ème chiffre après la virgule, ce sont les centièmes.
• Le 3ème chiffre après la virgule, ce sont les millièmes.

On peut ranger les chiffres dans un tableau de numération. Cela aide à bien comprendre la valeur de chaque chiffre. Pour les nombres décimaux, on ajoute des colonnes après les unités pour les dixièmes, centièmes, etc. La virgule se place toujours après la colonne des unités.

La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.

Multiplier un nombre décimal par un entier, c'est comme ajouter ce nombre décimal plusieurs fois. Exemple : $2,5 \times 3$ C'est la même chose que $2,5 + 2,5 + 2,5$. $2,5 + 2,5 = 5$ $5 + 2,5 = 7,5$ Donc, $2,5 \times 3 = 7,5$. Cette méthode est simple pour les petits nombres. Mais elle devient difficile avec des grands nombres.

On peut imaginer des situations réelles pour mieux comprendre. Exemple avec l'argent : $1,50 \text{ €} \times 2$ C'est comme avoir deux fois 1 euro et 50 centimes. $1,50 \text{ €} + 1,50 \text{ €} = 3,00 \text{ €}$. Exemple avec des mesures : $0,75 \text{ m} \times 4$ C'est comme avoir quatre morceaux de 75 centimètres. $0,75 \text{ m} + 0,75 \text{ m} + 0,75 \text{ m} + 0,75 \text{ m} = 3 \text{ m}$. Ces exemples montrent comment les nombres décimaux sont utilisés tous les jours.

Avant de calculer, on peut estimer le résultat. Cela aide à vérifier si notre réponse est juste. Pour estimer, on arrondit le nombre décimal à l'unité la plus proche. Exemple : $4,8 \times 3$ On arrondit 4,8 à 5. L'estimation est $5 \times 3 = 15$. Le vrai résultat sera proche de 15. Si on trouve 1,44 ou 144, on sait qu'il y a une erreur. Estimer permet de trouver un ordre de grandeur.

Pour multiplier un nombre décimal par un nombre entier, on pose l'opération comme si la virgule n'existait pas. On multiplie les deux nombres comme s'ils étaient des nombres entiers.

Exemple : $3,21 \times 4$ On calcule $321 \times 4$.

  321
x   4
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 1284

Le résultat temporaire est 1284.

Maintenant, il faut remettre la virgule.

1. On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans le nombre décimal de départ. Dans $3,21$, il y a deux chiffres après la virgule (le 2 et le 1).
2. On place la virgule dans le produit (le résultat final) en partant de la droite. On compte le même nombre de chiffres. Dans 1284, on compte deux chiffres à partir de la droite : 4, puis 8. La virgule se place avant le 8. Le résultat est donc $12,84$. Le nombre de chiffres après la virgule dans le produit est le même que dans le nombre décimal de départ.

• Décimal avec un seul chiffre après la virgule : $5,6 \times 2$ On calcule $56 \times 2 = 112$. Il y a 1 chiffre après la virgule dans 5,6. Donc on place la virgule : $11,2$.

• Décimal avec deux chiffres après la virgule : $1,05 \times 3$ On calcule $105 \times 3 = 315$. Il y a 2 chiffres après la virgule dans 1,05. Donc on place la virgule : $3,15$.

• Produit se terminant par zéro : $2,5 \times 4$ On calcule $25 \times 4 = 100$. Il y a 1 chiffre après la virgule dans 2,5. Donc on place la virgule : $10,0$ (ou $10$).

Pour résoudre un problème :

1. Je lis bien l'énoncé.
2. J'identifie les informations importantes.
3. Je choisis la bonne opération (ici, la multiplication).
4. Je calcule.
5. J'écris une phrase réponse claire.

La multiplication des décimaux est utile partout :

• Achats : Un paquet de bonbons coûte $1,20 \text{ €}$. Combien coûtent 5 paquets ? ($1,20 \times 5$)
• Recettes de cuisine : Il faut $0,75 \text{ kg}$ de farine pour un gâteau. Pour 3 gâteaux, combien faut-il de farine ? ($0,75 \times 3$)
• Bricolage : Une planche mesure $2,10 \text{ m}$. J'en coupe 4 morceaux de la même taille. Quelle est la longueur totale ? (Attention, ici ce serait une division si on coupe, mais $2,10 \text{ m} \times 4$ si on achète 4 planches de cette taille.)

C'est très important de vérifier.

• Estimation : Compare ton résultat avec ton estimation de départ. Sont-ils proches ?
• Re-calcul : Refais le calcul une deuxième fois pour être sûr.
• Logique : Le résultat a-t-il du sens dans le problème ? Par exemple, si tu achètes 5 paquets de bonbons à 1,20€, tu ne peux pas trouver 60€ ou 0,60€.