Fonctions polynômes du second degré

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) est une fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, qui peut s'écrire sous la forme suivante :

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Cette écriture est appelée la forme développée du polynôme.

• $a$, $b$, et $c$ sont des nombres réels appelés les coefficients du polynôme.
• Le coefficient $a$ doit impérativement être non nul ($a \neq 0$). Si $a$ était égal à 0, la fonction serait du premier degré ($f(x) = bx + c$).
• $x$ est la variable.

Exemples de fonctions du second degré :

• $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ (ici, $a=2$, $b=-3$, $c=1$)
• $g(x) = -x^2 + 5$ (ici, $a=-1$, $b=0$, $c=5$)
• $h(x) = 4x^2 - x$ (ici, $a=4$, $b=-1$, $c=0$)
• $k(x) = (x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$ (ici, $a=1$, $b=-1$, $c=-2$)

Le coefficient $a$ ne doit jamais être nul pour qu'il s'agisse d'un polynôme du second degré.

La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est toujours une courbe appelée parabole.

• Allure générale de la parabole : Une parabole a une forme de "U" ou de "U inversé". Elle est symétrique par rapport à une droite verticale.
• Ouverture de la parabole (selon le signe de $a$) :
  • Si $a > 0$, la parabole est "ouverte vers le haut" (elle ressemble à un "U"). Elle admet un minimum.
  • Si $a < 0$, la parabole est "ouverte vers le bas" (elle ressemble à un "U inversé"). Elle admet un maximum.
• Sommet de la parabole : C'est le point le plus bas (si $a>0$) ou le point le plus haut (si $a<0$) de la parabole. Ses coordonnées sont $( \alpha; \beta )$.
• Axe de symétrie : La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par son sommet. L'équation de cet axe de symétrie est $x = \alpha$.

Les coefficients $a$, $b$ et $c$ de la forme développée $f(x) = ax^2 + bx + c$ nous donnent des informations précieuses sur la parabole :

• Ordonnée à l'origine ($c$) : La valeur du coefficient $c$ est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées (l'axe $Oy$). En effet, si $x=0$, alors $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$. Donc, la parabole coupe l'axe $Oy$ au point $(0; c)$.
• Influence de $a$ sur l'ouverture et l'étirement :
  • Comme vu précédemment, le signe de $a$ détermine l'orientation de la parabole (ouverte vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$).
  • La valeur absolue de $a$ ( $|a|$ ) influence l'étirement de la parabole. Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est "resserrée" ou "étroite". Plus $|a|$ est petit (proche de 0), plus la parabole est "évasée" ou "large".
• Influence de $b$ sur la position du sommet : Le coefficient $b$ affecte la position horizontale du sommet. L'abscisse du sommet est donnée par la formule $\alpha = -\frac{b}{2a}$. Un changement de $b$ (à $a$ et $c$ constants) déplacera la parabole horizontalement et verticalement.

Le coefficient $c$ est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré est :

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$

• $a$ est le même coefficient que dans la forme développée.
• $(\alpha; \beta)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole.
  • L'abscisse du sommet est $\alpha = -\frac{b}{2a}$.
  • L'ordonnée du sommet est $\beta = f(\alpha) = a\alpha^2 + b\alpha + c$.
• L'intérêt majeur de la forme canonique est qu'elle donne directement les coordonnées du sommet de la parabole. C'est très utile pour trouver le minimum ou le maximum de la fonction.

Passage de la forme développée à la forme canonique : À partir de $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

1. On factorise $a$ sur les termes en $x^2$ et $x$ : $f(x) = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c$.
2. On utilise l'identité remarquable $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$. Ici, $2k = \frac{b}{a}$, donc $k = \frac{b}{2a}$.
3. On réécrit l'expression entre parenthèses : $x^2 + \frac{b}{a}x = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2$.
4. On remplace dans $f(x)$ : $f(x) = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right] + c$ $f(x) = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - a \frac{b^2}{4a^2} + c$ $f(x) = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$ $f(x) = a \left( x - \left(-\frac{b}{2a}\right) \right)^2 + \frac{-b^2+4ac}{4a}$ D'où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = \frac{-b^2+4ac}{4a}$.

$\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$. $\beta = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2(4) - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$. La forme canonique est $f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$. Le sommet est $(2; -2)$.

La forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré existe si la fonction admet des racines réelles (c'est-à-dire des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0$).

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

• $a$ est le même coefficient.
• $x_1$ et $x_2$ sont les racines du polynôme, c'est-à-dire les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=0$. Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (l'axe $Ox$).
• L'intérêt majeur de la forme factorisée est qu'elle permet de lire directement les racines du polynôme.

Passage de la forme développée à la forme factorisée : Pour trouver la forme factorisée, il faut d'abord trouver les racines $x_1$ et $x_2$ en résolvant l'équation $f(x)=0$. Nous verrons comment faire cela avec le discriminant dans la section suivante.

En résolvant $x^2 - 3x + 2 = 0$, on trouve les racines $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$. Comme $a=1$, la forme factorisée est $f(x) = 1(x - 1)(x - 2) = (x - 1)(x - 2)$.

Il est souvent nécessaire de passer d'une forme à l'autre :

• Développée → Canonique : Calculer $\alpha = -\frac{b}{2a}$ puis $\beta = f(\alpha)$. Ensuite, écrire $a(x-\alpha)^2 + \beta$.
• Canonique → Développée : Développer l'expression $a(x-\alpha)^2 + \beta$. Exemple : $2(x-2)^2 - 2 = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6$.
• Factorisée → Développée : Développer le produit $a(x-x_1)(x-x_2)$. Exemple : $(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.
• Développée → Factorisée (si possible) : Résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ pour trouver les racines $x_1$ et $x_2$. Si des racines existent, écrire $a(x-x_1)(x-x_2)$.

L'outil principal pour résoudre une équation du second degré est le discriminant, noté $\Delta$ (delta).

• Définition de $\Delta$ : Le discriminant est calculé à partir des coefficients $a$, $b$, $c$ par la formule : $\Delta = b^2 - 4ac$
• Rôle du discriminant : Le signe du discriminant détermine le nombre de solutions réelles de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.
• Calcul du discriminant : Il suffit d'identifier $a$, $b$, $c$ et d'appliquer la formule.

$\Delta = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.

Le signe de $\Delta$ nous indique directement combien de solutions réelles l'équation a :

1. Si $\Delta > 0$ : L'équation a deux solutions réelles distinctes (deux racines différentes). Les solutions sont données par les formules : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ Graphiquement, la parabole coupe l'axe $Ox$ en deux points distincts.

2. Si $\Delta = 0$ : L'équation a une solution réelle double (une seule racine). La solution est donnée par la formule : $x_0 = \frac{-b}{2a}$ Graphiquement, la parabole touche l'axe $Ox$ en un seul point (son sommet est sur l'axe $Ox$). C'est aussi l'abscisse du sommet $\alpha$.

3. Si $\Delta < 0$ : L'équation n'a aucune solution réelle. Graphiquement, la parabole ne coupe pas l'axe $Ox$ (elle est entièrement au-dessus si $a>0$, ou entièrement en-dessous si $a<0$).

Le discriminant $\Delta$ est la clé pour connaître le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré.

Certaines équations du second degré peuvent être résolues plus simplement sans passer par le discriminant :

• Équations incomplètes ($b=0$ ou $c=0$) :

  • Si $b=0$ : $ax^2 + c = 0 \implies ax^2 = -c \implies x^2 = -\frac{c}{a}$.
    • Si $-\frac{c}{a} > 0$, alors $x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$. (Deux solutions)
    • Si $-\frac{c}{a} = 0$, alors $x = 0$. (Une solution)
    • Si $-\frac{c}{a} < 0$, alors pas de solution réelle. Exemple : $2x^2 - 8 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
  • Si $c=0$ : $ax^2 + bx = 0 \implies x(ax+b) = 0$. Ceci implique $x = 0$ ou $ax+b=0$, donc $x = -\frac{b}{a}$. (Toujours deux solutions, sauf si $b=0$) Exemple : $3x^2 + 6x = 0 \implies 3x(x+2) = 0 \implies x=0$ ou $x=-2$.

• Factorisation simple : Si vous pouvez factoriser l'expression directement (par exemple, en reconnaissant une identité remarquable ou en mettant un facteur commun), c'est souvent plus rapide. Exemple : $x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x-3)^2 = 0 \implies x=3$ (solution double).

• Utilisation de la forme canonique : Si vous connaissez déjà la forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta = 0$, vous pouvez la résoudre directement : $a(x-\alpha)^2 = -\beta \implies (x-\alpha)^2 = -\frac{\beta}{a}$.

  • Si $-\frac{\beta}{a} > 0$, alors $x-\alpha = \pm \sqrt{-\frac{\beta}{a}} \implies x = \alpha \pm \sqrt{-\frac{\beta}{a}}$.
  • Si $-\frac{\beta}{a} = 0$, alors $x-\alpha = 0 \implies x = \alpha$.
  • Si $-\frac{\beta}{a} < 0$, alors pas de solution réelle. Exemple : $2(x-2)^2 - 2 = 0 \implies 2(x-2)^2 = 2 \implies (x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm 1$. Donc $x-2=1 \implies x=3$ ou $x-2=-1 \implies x=1$.

Le signe d'un polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ dépend de son coefficient $a$ et de ses racines (s'il en a).

Règle générale :

• À l'extérieur des racines, le polynôme est du signe de $a$.
• Entre les racines (si $\Delta > 0$), le polynôme est du signe opposé à $a$.

Construction du tableau de signes :

1. Calculer $\Delta$ et trouver les racines $x_1, x_2$ (si elles existent).
2. Ordonner les racines si $\Delta > 0$ ($x_1 < x_2$).
3. Construire un tableau avec une ligne pour $x$ (de $-\infty$ à $+\infty$) et une ligne pour $P(x)$.
4. Placer les racines sur la ligne des $x$. À ces endroits, $P(x)=0$.

Cas selon le signe de $\Delta$ :

• Cas $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$) :

  $x$	$-\infty$	$x_1$	$x_2$	$+\infty$
  $ax^2+bx+c$	Signe de $a$	$0$	Signe opposé à $a$	$0$
  Exemple : $f(x) = x^2 - 3x + 2$. $a=1 (>0)$, racines $x_1=1, x_2=2$.
  $x$	$-\infty$	$1$	$2$	$+\infty$
  :--------	:-------:	:-:	:-:	:-------:
  $x^2-3x+2$	$+$	$0$	$-$	$0$

• Cas $\Delta = 0$ (une racine double $x_0$) :

  $x$	$-\infty$	$x_0$	$+\infty$
  $ax^2+bx+c$	Signe de $a$	$0$	Signe de $a$
  Le polynôme est toujours du signe de $a$, sauf en $x_0$ où il est nul.
  Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 4$. $a=1 (>0)$, racine double $x_0=2$.
  $x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
  :--------	:-------:	:-:	:-------:
  $x^2-4x+4$	$+$	$0$	$+$

• Cas $\Delta < 0$ (aucune racine réelle) :

  $x$	$-\infty$	$+\infty$
  $ax^2+bx+c$	Signe de $a$
  Le polynôme est toujours du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.
  Exemple : $f(x) = x^2 + x + 1$. $a=1 (>0)$, $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3 < 0$.
  $x$	$-\infty$	$+\infty$
  :--------	:-------:	:-------:
  $x^2+x+1$	$+$

Un polynôme du second degré est toujours du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines.

Pour résoudre une inéquation du second degré (par exemple $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c \le 0$, etc.) :

1. Ramener l'inéquation à la forme $ax^2+bx+c \text{ signe } 0$ (où "signe" est $>, <, \ge, \le$).
2. Calculer le discriminant $\Delta$ et trouver les racines de $ax^2 + bx + c = 0$.
3. Construire le tableau de signes du polynôme $ax^2 + bx + c$.
4. Lire la ou les intervalles de solution dans le tableau de signes en fonction du signe demandé par l'inéquation.

1. L'inéquation est déjà sous la bonne forme.
2. Résolvons $x^2 - x - 2 = 0$. $a=1, b=-1, c=-2$. $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$. $x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = -1$. $x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
3. Tableau de signes ($a=1 > 0$) :

   $x$	$-\infty$	$-1$	$2$	$+\infty$
   $x^2-x-2$	$+$	$0$	$-$	$0$

4. On cherche $x^2 - x - 2 \ge 0$, donc les intervalles où le signe est $+$ ou $0$. La solution est $S = ]-\infty; -1] \cup [2; +\infty[$.

Interprétation graphique des solutions : Les solutions d'une inéquation $f(x) > 0$ correspondent aux intervalles où la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses. Les solutions d'une inéquation $f(x) < 0$ correspondent aux intervalles où la parabole est en-dessous de l'axe des abscisses.

Les fonctions du second degré sont souvent utilisées pour modéliser des situations où l'on cherche un maximum ou un minimum.

• Recherche de maximum/minimum : Le sommet de la parabole représente le point où la fonction atteint son maximum (si $a<0$) ou son minimum (si $a>0$).

  • L'abscisse du sommet $\alpha = -\frac{b}{2a}$ donne la valeur de $x$ pour laquelle le maximum/minimum est atteint.
  • L'ordonnée du sommet $\beta = f(\alpha)$ donne la valeur du maximum/minimum lui-même.

• Problèmes concrets :

  • Aire maximale : Optimiser l'aire d'une figure géométrique (rectangle, etc.) sous certaines contraintes.
  • Bénéfice maximal ou coût minimal : En économie, les fonctions de coût ou de bénéfice sont parfois modélisées par des polynômes du second degré. Trouver le sommet permet de déterminer la production optimale.
  • Trajectoire : La trajectoire d'un projectile (sans frottement) est une parabole. Le sommet correspond au point culminant de la trajectoire.

Soient $L$ la longueur parallèle à la rivière et $l$ la largeur. La clôture utilisée est $L + 2l = 100$. On exprime $L = 100 - 2l$. L'aire du champ est $A = L \times l = (100 - 2l)l = 100l - 2l^2$. C'est une fonction du second degré de $l$: $A(l) = -2l^2 + 100l$. Ici, $a=-2$, $b=100$, $c=0$. Puisque $a=-2 < 0$, la parabole est ouverte vers le bas, elle admet un maximum. L'abscisse du sommet : $l = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2(-2)} = -\frac{100}{-4} = 25$ mètres. L'aire maximale est $A(25) = -2(25)^2 + 100(25) = -2(625) + 2500 = -1250 + 2500 = 1250$ m$^2$. La longueur correspondante est $L = 100 - 2(25) = 50$ mètres.

Si une équation $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a \neq 0$) a deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues), alors :

• Somme des racines : $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Produit des racines : $P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$

Démonstration (rapide) : Nous savons que $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. $x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$. $x_1 \times x_2 = \left( \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \right) = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2}$. En remplaçant $\Delta = b^2 - 4ac$ : $x_1 \times x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$.

Ces relations sont très utiles ! Elles permettent de vérifier rapidement des solutions ou de trouver des informations sur les racines sans les calculer explicitement.

• Vérification de solutions : Si vous avez trouvé des solutions $x_1$ et $x_2$ pour une équation, vous pouvez vérifier si leur somme est bien $-\frac{b}{a}$ et leur produit $\frac{c}{a}$. Exemple : Pour $x^2 - 3x + 2 = 0$, les racines sont $1$ et $2$. $S = 1+2 = 3$. Et $-\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$. (OK) $P = 1 \times 2 = 2$. Et $\frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$. (OK)

• Recherche de l'autre racine : Si vous connaissez une racine $x_1$ et les coefficients $a,b,c$, vous pouvez trouver l'autre racine $x_2$ sans résoudre l'équation complète.

  • À partir de la somme : $x_2 = -\frac{b}{a} - x_1$.
  • À partir du produit : $x_2 = \frac{c}{a \cdot x_1}$ (si $x_1 \neq 0$). Exemple : Si on sait que $x=1$ est une racine de $2x^2 - 5x + 3 = 0$. Alors $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$. Donc $1 + x_2 = \frac{5}{2} \implies x_2 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$. Ou par le produit : $x_1 \times x_2 = \frac{3}{2}$. Donc $1 \times x_2 = \frac{3}{2} \implies x_2 = \frac{3}{2}$.

• Construction d'un polynôme à partir de ses racines : Si on vous donne les deux racines $x_1$ et $x_2$ d'un polynôme du second degré, vous pouvez le reconstituer (à un facteur $a$ près) : $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$. Ou plus généralement : $a(x^2 - Sx + P) = 0$. Exemple : Trouver une équation du second degré dont les racines sont $-2$ et $5$. $S = -2+5 = 3$. $P = (-2)(5) = -10$. L'équation est $x^2 - 3x - 10 = 0$. (On peut multiplier par n'importe quel $a \neq 0$, par exemple $2x^2 - 6x - 20 = 0$).

Dans certains cas, on peut factoriser un polynôme du second degré sans calculer explicitement le discriminant, en utilisant les relations somme-produit ou en détectant une racine "évidente".

• Cas où une racine est évidente :

  • Si $a+b+c=0$, alors $x=1$ est une racine. (Car $a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c=0$)
  • Si $a-b+c=0$, alors $x=-1$ est une racine. (Car $a(-1)^2 + b(-1) + c = a-b+c=0$) Une fois une racine $x_1$ trouvée, on peut trouver $x_2$ avec les relations somme-produit, puis écrire la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$. Exemple : $2x^2 - 7x + 5 = 0$. $a+b+c = 2-7+5 = 0$. Donc $x_1=1$ est une racine. $x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{2}$. Donc $1 \times x_2 = \frac{5}{2} \implies x_2 = \frac{5}{2}$. La forme factorisée est $2(x-1)(x-\frac{5}{2})$.

• Méthodes alternatives de factorisation :

  • Regroupement ou identités remarquables : Parfois, le polynôme peut être factorisé directement si on reconnaît une structure particulière.
  • Forme canonique : Si la forme canonique est $a(x-\alpha)^2 + \beta$, on peut chercher à factoriser en utilisant l'identité $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ si $\beta$ et $a$ sont de signes opposés (pour avoir un signe - devant le terme constant après factorisation de $a$). Exemple : $f(x) = 2(x-2)^2 - 2$. $f(x) = 2[(x-2)^2 - 1] = 2[(x-2)-1][(x-2)+1] = 2(x-3)(x-1)$.