Les probabilites

Une expérience aléatoire est une action dont on ne peut pas prédire le résultat avec certitude, même si l'on connaît toutes les possibilités. Le résultat est dû au hasard.

• Exemples concrets :
  • Lancer un dé à six faces : Avant de le lancer, tu ne sais pas quel chiffre va apparaître.
  • Lancer une pièce de monnaie : Tu ne sais pas si ce sera "Pile" ou "Face".
  • Tirer une carte d'un jeu mélangé : Tu ne sais pas quelle carte tu vas piocher.
• Le résultat imprévisible est la caractéristique principale d'une expérience aléatoire.

Il est important de faire la différence entre différents types d'événements :

• Un événement certain est un événement qui se produira toujours. Sa probabilité est de 1 (ou 100%).
  • Exemple : Obtenir un nombre inférieur à 7 en lançant un dé à six faces.
• Un événement impossible est un événement qui ne se produira jamais. Sa probabilité est de 0 (ou 0%).
  • Exemple : Obtenir un 7 en lançant un dé à six faces.
• Un événement aléatoire (ou incertain) est un événement qui peut se produire ou non. Sa probabilité est comprise entre 0 et 1 (0% et 100%).
  • Exemple : Obtenir un 4 en lançant un dé à six faces.

Pour parler de probabilités, on utilise un vocabulaire précis :

• Une issue (ou résultat) est l'un des résultats possibles d'une expérience aléatoire.
  • Exemple : Pour un lancer de dé, les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Un événement est un ensemble d'une ou plusieurs issues.
  • Exemple : "Obtenir un nombre pair" est un événement qui regroupe les issues {2, 4, 6}.
  • Exemple : "Obtenir un 3" est un événement qui regroupe une seule issue {3}.
• L'univers des possibles (ou ensemble des issues) est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. On le note souvent $\Omega$ (Omega).
  • Exemple : Pour un lancer de dé, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Avant même de calculer, on peut déjà comparer les chances qu'un événement se produise :

• Notion de "plus de chances" : Un événement a plus de chances de se produire s'il correspond à un plus grand nombre d'issues favorables.
  • Exemple : Dans un sac avec 8 billes rouges et 2 billes bleues, tu as "plus de chances" de tirer une bille rouge.
• Notion de "moins de chances" : Un événement a moins de chances de se produire s'il correspond à un plus petit nombre d'issues favorables.
  • Exemple : Dans le même sac, tu as "moins de chances" de tirer une bille bleue.
• Notion d'"autant de chances" : Deux événements ont autant de chances de se produire s'ils correspondent au même nombre d'issues favorables.
  • Exemple : En lançant une pièce, tu as "autant de chances" d'obtenir Pile que Face.

On utilise des mots pour décrire la probabilité d'un événement :

• Certain : Se produira à coup sûr.
• Impossible : Ne se produira jamais.
• Peu probable : Il y a de faibles chances que cela arrive.
• Très probable : Il y a de fortes chances que cela arrive.
• Équiprobable : Tous les résultats ont la même chance de se produire (comme un dé non truqué).

Les probabilités sont partout autour de nous :

• Météo : "Il y a 80% de chances de pluie demain." Cela signifie que c'est très probable qu'il pleuve.
• Jeux de société : Au Monopoly, il est plus probable de faire un 7 avec deux dés qu'un 2 ou un 12.
• Tirage au sort : Si 100 personnes participent à un tirage au sort pour un seul lot, il est peu probable de gagner, mais pas impossible.
• Loterie : Gagner à la loterie est un événement extrêmement peu probable !

Une probabilité est une proportion. C'est une partie d'un tout. On peut l'exprimer sous forme de :

• Fraction : $\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de cas possibles}}$
• Nombre décimal : En divisant le numérateur par le dénominateur de la fraction.
• Pourcentage : En multipliant le nombre décimal par 100.

Pour une expérience aléatoire où toutes les issues ont la même chance de se produire (on parle d'équiprobabilité), la probabilité $P$ d'un événement $E$ est donnée par la formule :

$P(E) = \frac{\text{Nombre de cas favorables à l'événement E}}{\text{Nombre total de cas possibles}}$

• Le nombre de cas favorables est le nombre d'issues qui réalisent l'événement E.
• Le nombre total de cas possibles est le nombre total d'issues de l'expérience (la taille de l'univers $\Omega$).

• Probabilité d'obtenir un 6 avec un dé à six faces non truqué :
  • Cas favorables : {6} → 1 cas
  • Cas possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 cas
  • $P(\text{obtenir un 6}) = \frac{1}{6}$
• Probabilité d'obtenir Pile avec une pièce de monnaie non truquée :
  • Cas favorables : {Pile} → 1 cas
  • Cas possibles : {Pile, Face} → 2 cas
  • $P(\text{obtenir Pile}) = \frac{1}{2}$
• Probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé à six faces :
  • Cas favorables : {2, 4, 6} → 3 cas
  • Cas possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 cas
  • $P(\text{obtenir un nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Prenons un jeu de 32 cartes (il y a 4 as, 4 rois, 4 dames, 4 valets, 4 dix, 4 neuf, 4 huit, 4 sept).

• Probabilité de tirer un as :
  • Cas favorables : 4 as
  • Cas possibles : 32 cartes
  • $P(\text{tirer un as}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
• Probabilité de tirer une carte rouge :
  • Un jeu de 32 cartes contient 16 cartes rouges (cœur et carreau) et 16 cartes noires (pique et trèfle).
  • Cas favorables : 16 cartes rouges
  • Cas possibles : 32 cartes
  • $P(\text{tirer une carte rouge}) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Les probabilités sont toujours un nombre compris entre 0 et 1 (ou 0% et 100%).

• 0 : Représente un événement impossible.
• 1 : Représente un événement certain.
• 0.5 (ou $\frac{1}{2}$ ou 50%) : Représente un événement équiprobable (autant de chances que de ne pas se produire).

0                                 0.5                               1
(Impossible) -------- (Peu probable) -------- (Équiprobable) -------- (Très probable) -------- (Certain)

On peut utiliser des fractions, des nombres décimaux ou des pourcentages pour exprimer une probabilité.

Pour mieux visualiser les issues possibles et les événements, on peut utiliser des outils :

• Tableau des issues possibles : Utile pour lister tous les résultats.

  Lancer de dé	Issue
  1	1
  2	2
  3	3
  4	4
  5	5
  6	6

• Arbre de choix (très simple) : Pour visualiser des expériences en plusieurs étapes.

  Pièce de monnaie
  ├─── Pile
  └─── Face
  

  Cet arbre montre les 2 issues possibles d'un lancer de pièce.

• Une représentation visuelle des chances peut être faite avec des schémas, par exemple des secteurs de cercle ou des barres.

Comprendre la valeur d'une probabilité est essentiel :

• Comprendre ce que signifie P = $\frac{1}{2}$ : Cela signifie qu'il y a une chance sur deux que l'événement se produise. C'est 50% de chances, un événement sur deux en moyenne. On dit que c'est équiprobable.
• Comprendre ce que signifie P = 0.25 : Cela équivaut à $\frac{1}{4}$ ou 25%. Il y a une chance sur quatre que l'événement se produise. C'est un événement peu probable.
• Faire le lien avec les chances : Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement a de chances de se produire. Plus elle est proche de 0, moins il a de chances.
  • Une probabilité de 0.9 (90%) indique que l'événement est très probable.
  • Une probabilité de 0.1 (10%) indique que l'événement est peu probable.