La distance le cercle le disque

La distance est la mesure de l'écart entre deux points ou entre un point et une droite. C'est la longueur du chemin le plus court pour aller d'un endroit à un autre.

Pour mesurer une distance, on utilise souvent une règle graduée.

Les unités de mesure les plus courantes sont :

• Le centimètre (cm)
• Le mètre (m)
• Le kilomètre (km)
• N'oublie pas les conversions : 1 m = 100 cm, 1 km = 1000 m.

La distance entre deux points A et B est la longueur du segment de droite [AB] qui les relie. C'est le chemin le plus court !

On la note souvent AB (sans crochets) ou d(A, B). Par exemple, si le segment [AB] mesure 5 cm, on écrit AB = 5 cm.

Pour la mesurer :

1. Place le zéro de ta règle graduée sur le point A.
2. Lis la graduation qui correspond au point B.

La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment qui relie A à (d) en étant perpendiculaire à (d). C'est le plus court chemin entre le point et la droite.

Pour la mesurer ou la tracer :

1. Place ton équerre de manière à ce qu'un de ses côtés repose sur la droite (d).
2. Fais glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par le point A.
3. Trace un segment de droite du point A jusqu'à la droite (d). Ce segment doit être perpendiculaire à (d).
4. Mesure la longueur de ce segment avec ta règle.

Un cercle est une figure géométrique plane. C'est l'ensemble de tous les points qui sont à la même distance d'un point fixe appelé le centre du cercle. Cette distance s'appelle le rayon.

Imagine un compas : la pointe sèche est le centre, et la pointe avec le crayon trace tous les points qui sont à la même distance de ce centre.

• Le rayon (noté $R$ ou $r$) est la distance entre le centre du cercle et n'importe quel point du cercle. Tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur.
• Le diamètre (noté $D$ ou $d$) est un segment de droite qui passe par le centre du cercle et relie deux points opposés du cercle.
  • Le diamètre est toujours égal à deux fois le rayon.
  • Formule : $D = 2 \times R$ ou $R = D \div 2$.

Le compas est l'outil indispensable pour tracer un cercle !

1. Choisis l'emplacement du centre de ton cercle (par exemple, un point O).
2. Ouvre ton compas à la mesure du rayon souhaité. Pour cela, tu peux utiliser une règle graduée : place la pointe sèche sur le zéro et la pointe avec le crayon sur la graduation correspondant au rayon. C'est l'ouverture du compas.
3. Place la pointe sèche du compas sur le centre O.
4. Fais tourner le compas en maintenant la pointe sèche fixe, et en appuyant doucement sur la pointe avec le crayon pour tracer la ligne.

Un disque est une surface plane. C'est l'ensemble de tous les points situés à l'intérieur d'un cercle, y compris les points du cercle lui-même.

Imagine le cercle comme le contour d'une pièce de monnaie. Le disque, c'est la pièce de monnaie entière, le contour PLUS tout ce qu'il y a dedans.

C'est une distinction très importante !

• Le cercle est une ligne (le "bord", le "contour"). Il n'a pas d'épaisseur, pas de surface.
  • Exemple : le cerceau, le contour d'une roue.
• Le disque est une surface (la partie remplie). Il comprend tous les points à l'intérieur du cercle.
  • Exemple : une assiette, une pièce de monnaie, un CD.

Pour représenter un disque, on trace d'abord le cercle qui le délimite (son "bord"). Ensuite, on peut :

• Le colorier entièrement.
• Le hachurer (tracer des lignes parallèles à l'intérieur).

Cela montre que l'on considère la surface et non juste le contour.

Un point peut avoir trois positions par rapport à un cercle (et donc à un disque) :

• Point intérieur : la distance entre le point et le centre est plus petite que le rayon. Il est à l'intérieur du disque.
• Point extérieur : la distance entre le point et le centre est plus grande que le rayon. Il est à l'extérieur du disque.
• Point sur le cercle : la distance entre le point et le centre est égale au rayon. Il appartient au cercle (et donc au disque).

Une droite peut avoir trois positions par rapport à un cercle :

• Sécante : la droite coupe le cercle en deux points distincts.
• Tangente : la droite touche le cercle en un seul point. Elle est perpendiculaire au rayon en ce point.
• Extérieure : la droite ne rencontre aucun point du cercle. La distance entre le centre du cercle et la droite est supérieure au rayon.

Deux cercles peuvent être :

• Cercles concentriques : ils ont le même centre mais des rayons différents. (Comme une cible de fléchettes).
• Cercles sécants : ils se coupent en deux points distincts.
• Cercles tangents : ils se touchent en un seul point. Ils peuvent être tangents extérieurement ou intérieurement.
• Cercles disjoints : ils ne se rencontrent pas.

Le compas et la règle permettent de réaliser de superbes constructions géométriques :

• Les rosaces : des motifs décoratifs formés par l'intersection de plusieurs cercles de même rayon.
• Les motifs géométriques : en combinant cercles, segments et autres formes.

Ces constructions demandent précision et imagination !

Comprendre la distance et les cercles aide à résoudre des problèmes concrets :

• Localiser un point : Si tu sais qu'un point est à 3 km de la ville A et à 5 km de la ville B, tu peux tracer deux cercles (un autour de A, un autour de B) et le point sera à l'intersection de ces deux cercles.
• Équidistance : Trouver tous les points à égale distance d'un point donné (c'est un cercle !).
• Rayon d'action : Déterminer la zone couverte par un signal radio ou une fontaine d'eau (c'est un disque !).

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Pour un cercle, on parle aussi de sa circonférence.

Il existe une relation spéciale entre le diamètre d'un cercle et son périmètre. Cette relation est donnée par un nombre particulier, appelé Pi (prononcé "pi", et noté $\pi$).

• $\pi$ est un nombre dont la valeur est environ $3,14$.
• La formule du périmètre d'un cercle est : $P = \pi \times D$ (où $D$ est le diamètre) ou $P = 2 \times \pi \times R$ (où $R$ est le rayon).

Nous étudierons ce nombre fascinant plus en détail plus tard ! Pour l'instant, retiens la notion de périmètre comme étant la "longueur du tour" du cercle.