Inecuaciones y nociones de programación lineal

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas. A diferencia de las ecuaciones, cuya solución suele ser un número puntual, la solución de una inecuación suele ser un conjunto de números o un intervalo.

Los símbolos fundamentales son:

• $<$ (menor que)
• $>$ (mayor que)
• $\le$ (menor o igual que)
• $\ge$ (mayor o igual que)

Es vital recordar las propiedades de las desigualdades:

1. Si sumamos o restamos el mismo número en ambos miembros, la desigualdad se mantiene.
2. Si multiplicamos o dividimos por un número positivo, la desigualdad se mantiene.
3. Si multiplicamos o dividimos por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Este es el error más común en los exámenes.

Las soluciones se representan mediante intervalos en la recta real:

• Abierto $(a, b)$: Los extremos no están incluidos.
• Cerrado $[a, b]$: Los extremos están incluidos.
• Semirrectas: $(-\infty, a]$ o $(a, +\infty)$.

El proceso es muy similar al de las ecuaciones de primer grado, buscando despejar la $x$.

Ejemplo práctico: Resolver $3x - 5 > x + 7$

1. Transponemos términos: $3x - x > 7 + 5$
2. Operamos: $2x > 12$
3. Despejamos: $x > \frac{12}{2} \Rightarrow x > 6$
4. Solución: Intervalo $(6, +\infty)$. Gráficamente, es una semirrecta que empieza en 6 (círculo vacío) hacia la derecha.

Un sistema de este tipo busca los valores de $x$ que cumplen todas las inecuaciones a la vez. La solución final es la intersección de los intervalos de cada inecuación individual.

• Si los intervalos no tienen puntos en común, la solución es el conjunto vacío ($\emptyset$).
• Si la solución abarca toda la recta, es la solución universal ($\mathbb{R}$).

Son de la forma $ax^2 + bx + c > 0$ (o cualquier otro símbolo de desigualdad). Para resolverlas, seguimos estos pasos:

1. Igualamos a cero y hallamos las raíces del polinomio asociado usando la fórmula cuadrática.
2. Situamos las raíces en la recta real, dividiéndola en intervalos.
3. Probamos un valor de cada intervalo en la inecuación para ver si el signo es positivo o negativo.

Interpretación parabólica: Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba. La solución será la parte que queda por encima del eje X (si buscamos $>0$) o por debajo (si buscamos $<0$).

Para grados superiores a 2 o cocientes de polinomios, utilizamos el cuadro de signos.

1. Factorización: Descomponemos los polinomios en factores de primer grado.
2. Puntos críticos: Son las raíces del numerador y del denominador.
3. Tabla de signos: Analizamos el signo de cada factor en los intervalos creados por los puntos críticos.

Importante: En las inecuaciones racionales, las raíces del denominador NUNCA se incluyen en la solución, ya que la división por cero no existe (siempre llevarán paréntesis en el intervalo).

En Economía, estas inecuaciones permiten definir umbrales de rentabilidad. Por ejemplo, si la función de beneficio de una empresa es $B(x) = -x^2 + 10x - 16$, podemos calcular para qué niveles de producción ($x$) la empresa obtiene beneficios resolviendo $-x^2 + 10x - 16 > 0$.

Una inecuación con dos incógnitas, como $ax + by \le c$, representa un semiplano en el sistema de coordenadas.

1. Dibujamos la recta frontera $ax + by = c$.
   • Si es $\le$ o $\ge$, la línea es continua (incluida).
   • Si es $<$ o $>$, la línea es discontinua (no incluida).
2. Elegimos un punto de prueba que no esté en la recta (usualmente el $(0,0)$).
3. Si el punto cumple la desigualdad, el semiplano solución es el que contiene a ese punto. Si no, es el opuesto.

Cuando tenemos varias inecuaciones, la solución es la región común a todos los semiplanos, denominada región factible.

• Región acotada: Es un polígono cerrado.
• Región no acotada: Se extiende infinitamente en alguna dirección.
• Vértices: Son los puntos donde se cortan las rectas frontera. Son cruciales para la optimización.

Para resolver un sistema, representamos cada recta y sombreamos la intersección. Ejemplo de sistema típico en CCSS:

La solución es el triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta $x+y=5$ en el primer cuadrante. Los vértices serían $(0,0)$, $(5,0)$ y $(0,5)$.

La programación lineal busca maximizar o minimizar una función sujeta a restricciones.

1. Variables de decisión: $x, y$ (cantidades a producir, horas de trabajo, etc.).
2. Función Objetivo: $f(x, y) = ax + by$. Es lo que queremos hacer máximo (beneficio) o mínimo (coste).
3. Restricciones: Sistema de inecuaciones lineales que limitan los recursos.
4. Condiciones de no negatividad: Casi siempre $x \ge 0, y \ge 0$, ya que no existen cantidades negativas en contextos reales.

Consiste en encontrar el punto de la región factible que hace que la función objetivo tome el valor óptimo.

• Rectas de nivel (isobeneficio): Son las rectas $ax + by = k$. Todas tienen la misma pendiente.
• Al desplazar estas rectas paralelamente por la región factible, el último punto que tocan antes de salir de la región suele ser el máximo o el mínimo.

Este teorema simplifica enormemente el trabajo: La solución óptima de un problema de programación lineal se encuentra siempre en uno de los vértices de la región factible (o en un segmento que une dos vértices).

Pasos para resolver:

1. Dibujar la región factible.
2. Calcular las coordenadas de todos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.
3. Sustituir cada vértice en la función objetivo.
4. Elegir el valor mayor (maximizar) o menor (minimizar).

La programación lineal es una herramienta estándar en la gestión de empresas y sociología:

• Problemas de mezcla: Determinar qué cantidad de diferentes componentes usar para minimizar el coste de un producto manteniendo ciertos estándares de calidad.
• Optimización de recursos: Cómo asignar presupuestos limitados o tiempo de maquinaria para obtener la mayor producción posible.
• Dietas: Combinar alimentos con distintos nutrientes y precios para satisfacer necesidades mínimas al menor coste.