Funciones reales y modelización de fenómenos

Una función $f$ es una relación entre dos conjuntos numéricos, de forma que a cada valor de la variable independiente ($x$) le corresponde un único valor de la variable dependiente ($y$).

• Dominio ($Dom f$): Conjunto de todos los valores de $x$ para los que existe la función.
• Recorrido o Imagen ($Im f$): Conjunto de valores que toma la variable $y$.

Las funciones en Ciencias Sociales se presentan de cuatro formas principales:

1. Mediante un texto: Descripción verbal de un fenómeno (ej. "El coste del alquiler sube 50€ cada año").
2. Tablas de valores: Datos estadísticos recogidos.
3. Gráficas: Permiten una visión global rápida del comportamiento.
4. Expresión analítica o fórmula: $y = f(x)$. Es la forma más precisa para realizar cálculos.

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, esto ocurre cuando el límite de la función en un punto coincide con el valor de la función en ese punto.

Cuando esto falla, hablamos de discontinuidades:

• Evitable: La función tiene un "hueco" en un punto, pero el resto de la gráfica parece alinearse.
• De salto finito: Los límites por la izquierda y la derecha existen pero son diferentes (común en tarifas por tramos).
• De salto infinito: La función tiende a infinito al acercarse a un valor de $x$ (presencia de asíntotas verticales).

El estudio de los puntos críticos del dominio es esencial para detectar dónde una función deja de ser continua, especialmente en funciones racionales o definidas a trozos.

El análisis de la forma ayuda a predecir comportamientos futuros o ahorrar cálculos:

• Simetría Par: $f(x) = f(-x)$. La gráfica es simétrica respecto al eje Y. Ejemplo: $f(x) = x^2$.
• Simetría Impar: $f(-x) = -f(x)$. La gráfica es simétrica respecto al origen. Ejemplo: $f(x) = x^3$.
• Periodicidad: Una función es periódica si sus valores se repiten cada cierto intervalo llamado periodo ($T$), tal que $f(x + T) = f(x)$. En Ciencias Sociales, esto es clave para analizar ciclos económicos estacionales.

La TVM mide cuánto cambia la variable dependiente respecto a la independiente en un intervalo cerrado $[a, b]$. $TVM[a, b] = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ En economía, la TVM representa la velocidad media de cambio. Por ejemplo, si $f(t)$ es el PIB de un país, la TVM en un intervalo de años nos indica el crecimiento económico medio anual. Geométricamente, equivale a la pendiente de la recta secante que une los puntos de la gráfica en $a$ y $b$.

• Monotonía: Una función es creciente si al aumentar $x$, aumenta $y$. Es decreciente si al aumentar $x$, disminuye $y$.
• Máximos y mínimos:
  • Relativos: Puntos donde la función pasa de crecer a decrecer (máximo) o viceversa (mínimo) en un entorno cercano.
  • Absolutos: El valor más alto o más bajo de toda la función en su dominio.
• Curvatura: Una función es convexa ($\cup$) si su tasa de crecimiento aumenta, y cóncava ($\cap$) si disminuye. Los puntos de inflexión son aquellos donde la función cambia su curvatura.

Las asíntotas son rectas a las que la función se aproxima indefinidamente sin llegar a tocarlas:

1. Verticales: Se encuentran en valores de $x$ donde la función no está definida (denominadores que se anulan).
2. Horizontales: Indican el comportamiento de la función cuando $x$ se hace muy grande ($+\infty$) o muy pequeño ($-\infty$). Son cruciales para determinar la saturación de un mercado o el límite de crecimiento de una población.
3. Oblicuas: Rectas del tipo $y = mx + n$ a las que se aproxima la función en el infinito.

• Funciones Lineales ($y = mx + n$): Modelan costes fijos y variables. La pendiente $m$ representa el coste marginal.
• Funciones Cuadráticas ($y = ax^2 + bx + c$): Su gráfica es una parábola. Se usan para maximizar beneficios o minimizar costes, donde el vértice es el punto óptimo.
• Funciones Racionales: Útiles para modelos de proporcionalidad inversa, como la relación entre el precio de un bien y la cantidad demandada.

Son vitales en el análisis financiero y demográfico:

• Exponencial ($y = a^x$): Describe crecimientos muy rápidos (interés compuesto, propagación de virus, crecimiento poblacional sin restricciones).
• Logarítmica ($y = \log_a x$): Es la inversa de la exponencial. Se usa para despejar el tiempo en ecuaciones de interés compuesto y en escalas de medición de intensidad (como la escala Richter o niveles de ruido).

Son funciones que cambian su fórmula según el valor de $x$. Son el modelo estándar para representar impuestos (IRPF), donde el porcentaje de impuestos varía según el tramo de ingresos, o tarifas de servicios (luz, telefonía) que tienen un coste fijo hasta cierto consumo y otro distinto a partir de ahí.

A partir de una función básica $f(x)$, podemos obtener otras:

• Verticales: $f(x) + k$ desplaza la gráfica hacia arriba o abajo.
• Horizontales: $f(x + k)$ la desplaza a izquierda o derecha.
• Reflexiones: $-f(x)$ refleja respecto al eje X; $f(-x)$ refleja respecto al eje Y.
• Estiramientos: $k \cdot f(x)$ hace que la función crezca más rápido (si $k > 1$).

La composición $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ consiste en aplicar primero $f$ y al resultado aplicarle $g$. Ejemplo práctico: Si $f(x)$ calcula el número de unidades producidas según las horas de trabajo, y $g(x)$ calcula el coste según las unidades producidas, la composición $(g \circ f)(x)$ nos da el coste directamente en función de las horas de trabajo.

La función inversa $f^{-1}(x)$ "deshace" el camino de la función original.

• Para que exista, la función debe ser inyectiva (a cada valor de $y$ le corresponde solo uno de $x$).
• Gráficamente, $f$ y $f^{-1}$ son simétricas respecto a la recta $y = x$ (bisectriz del primer cuadrante).

Modelizar consiste en traducir la realidad al lenguaje matemático siguiendo estos pasos:

1. Identificación: Determinar qué magnitudes varían (variables) y cuáles son constantes (parámetros).
2. Elección del modelo: Decidir si el fenómeno se ajusta mejor a una recta, una parábola, una exponencial, etc.
3. Validación: Comprobar si los resultados matemáticos tienen sentido en el mundo real. Un modelo que predice una población negativa no es válido.

• Oferta y Demanda: La oferta suele ser creciente respecto al precio, mientras que la demanda es decreciente.
• Punto de Equilibrio: Es el punto de intersección de las curvas de oferta y demanda. En este punto, la cantidad que los compradores están dispuestos a adquirir coincide con la que los vendedores quieren poner en el mercado.
• Análisis de Costes: $Coste Total = Costes Fijos + Costes Variables(x)$.

En la era de la información, es vital saber leer gráficas en prensa:

• Escalas engañosas: Ejes que no empiezan en cero para exagerar variaciones pequeñas.
• Correlación no implica causalidad: Que dos variables crezcan a la vez no significa que una cause la otra.
• Extrapolación: Usar un modelo fuera del rango de datos conocidos es arriesgado, ya que las tendencias pueden cambiar bruscamente en el futuro.