Límites de funciones y continuidad

El concepto de límite describe el valor al que se aproxima una función $f(x)$ cuando la variable independiente $x$ se acerca cada vez más a un valor concreto $a$, sin llegar necesariamente a alcanzarlo.

Decimos que el límite de la función es $L$ cuando $x$ tiende a $a$ y lo expresamos como: $\lim_{x \to a} f(x) = L$

Es importante entender que el límite se centra en la tendencia de la función cerca de $a$, no en lo que ocurre exactamente en $x = a$. Una función puede tener límite en un punto aunque no esté definida en él.

Para que una función tenga un comportamiento predecible en un punto, debemos observar cómo se acerca por ambos lados:

• Límite por la izquierda: Se denota como $\lim_{x \to a^-} f(x)$. Nos fijamos en los valores de $x$ ligeramente menores que $a$.
• Límite por la derecha: Se denota como $\lim_{x \to a^+} f(x)$. Nos fijamos en los valores de $x$ ligeramente mayores que $a$.

Para que exista el límite global en un punto, los límites laterales deben ser iguales y finitos. Si son distintos, el límite global no existe.

A veces nos interesa saber qué ocurre con una función cuando la variable $x$ crece o decrece sin control.

• Límite cuando $x \to +\infty$: Estudiamos la tendencia de la función hacia la derecha del eje X.
• Límite cuando $x \to -\infty$: Estudiamos la tendencia hacia la izquierda del eje X.

Si al tender al infinito la función se estabiliza en un número real $L$, decimos que tiene un límite finito en el infinito. Si la función crece o decrece sin parar, el límite será $+\infty$ o $-\infty$.

El cálculo de límites se facilita gracias a una serie de propiedades que permiten descomponer funciones complejas. Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$:

1. Suma/Resta: $\lim (f \pm g) = L \pm M$
2. Producto: $\lim (f \cdot g) = L \cdot M$
3. Cociente: $\lim (f / g) = L / M$ (si $M \neq 0$)
4. Potencia: $\lim (f^g) = L^M$ (si $L > 0$)

El cálculo directo consiste en sustituir el valor de $x$ por $a$:

• Polinómicas: El límite en un punto $a$ es simplemente $f(a)$. En el infinito, el límite depende únicamente del término de mayor grado.
• Racionales: Se sustituye el valor. Si el denominador no es cero, obtenemos el resultado directamente.
• Exponenciales: Si la base $b > 1$, $\lim_{x \to +\infty} b^x = +\infty$ y $\lim_{x \to -\infty} b^x = 0$.
• Logarítmicas: Solo existen para valores positivos del argumento.

A veces, al sustituir, obtenemos expresiones que no tienen un valor inmediato, llamadas indeterminaciones.

1. Indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$: Suele aparecer en funciones racionales cuando $x \to \infty$. Se resuelve comparando los grados de los polinomios:
   • Si el grado del numerador es mayor: el límite es $\infty$.
   • Si los grados son iguales: el límite es el cociente de los coeficientes principales.
   • Si el grado del denominador es mayor: el límite es 0.
2. Indeterminación $\frac{0}{0}$: Aparece en puntos concretos. Se resuelve factorizando los polinomios y simplificando el factor común que causa el cero.

Las indeterminaciones no significan que el límite no exista, sino que debemos aplicar otras técnicas para hallarlo.

Una función es continua en un punto $x = a$ si su gráfica no presenta interrupciones en ese punto. Matemáticamente, deben cumplirse tres condiciones:

1. Que exista la imagen de la función: $f(a)$ esté definida.
2. Que exista el límite de la función cuando $x \to a$.
3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

• Intervalo abierto $(a, b)$: Una función es continua si lo es en todos los puntos del intervalo.
• Funciones elementales: Las funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio. Las racionales son continuas excepto donde el denominador se anula.

En las funciones definidas a trozos, el estudio de la continuidad se centra en los puntos de ruptura (donde cambia la fórmula). Para que sea continua en un punto de cambio $x = c$: $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$ Es muy común en ejercicios de Bachillerato tener que calcular el valor de un parámetro $k$ para que la función sea continua igualando los límites laterales.

Ocurre cuando existe el límite finito en el punto, pero:

• La función no está definida en ese punto.
• La imagen $f(a)$ existe pero es distinta al límite. Se llama "evitable" porque podríamos definir o redefinir $f(a)$ para que la función fuera continua.

Se produce cuando los límites laterales existen y son finitos, pero son diferentes.

• Salto: Es la diferencia absoluta entre los dos límites laterales: $|\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)|$. Es típica de funciones a trozos mal ajustadas.

Ocurre cuando al menos uno de los límites laterales es $+\infty$ o $-\infty$. En este caso, la función presenta una asíntota vertical en ese punto. La gráfica "se escapa" hacia arriba o hacia abajo sin tocar una línea vertical imaginaria.

Son rectas de la forma $x = a$.

• Cálculo: Se buscan en los puntos que no pertenecen al dominio (generalmente donde el denominador es cero).
• Condición: $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.
• Posición: Es necesario calcular los límites laterales para saber si la curva sube o baja a cada lado de la recta.

Son rectas de la forma $y = k$.

• Cálculo: Se calcula el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito.
• Condición: $\lim_{x \to \infty} f(x) = k$ (siendo $k$ un número real). Si una función tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua en el mismo sentido del infinito.

Son rectas de la forma $y = mx + n$.

• Existencia: En funciones racionales, existen si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador.
• Cálculo de $m$: $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$
• Cálculo de $n$: $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$

Las asíntotas ayudan a dibujar el "esqueleto" de la función, permitiendo prever su comportamiento a largo plazo.