Estudio y representación de funciones

El dominio de una función, denotado como $Dom(f)$, es el conjunto de valores de $x$ para los cuales existe la función $f(x)$. Dependiendo del tipo de función, encontraremos diferentes restricciones:

1. Funciones Racionales: El denominador no puede ser cero.
   • Ejemplo: $f(x) = \frac{x+1}{x-2} \implies x-2 \neq 0 \implies Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
2. Raíces de índice par: El radicando debe ser mayor o igual a cero.
   • Ejemplo: $f(x) = \sqrt{x-3} \implies x-3 \geq 0 \implies Dom(f) = [3, +\infty)$.
3. Funciones Logarítmicas: El argumento debe ser estrictamente mayor que cero.
   • Ejemplo: $f(x) = \ln(x^2 - 1) \implies x^2 - 1 > 0 \implies Dom(f) = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
4. Funciones a trozos: Debemos estudiar la definición en cada intervalo y comprobar la continuidad en los puntos de unión.

La simetría nos permite ahorrar trabajo, ya que si conocemos una mitad de la gráfica, conocemos la otra.

• Simetría Par (respecto al eje Y): Se cumple si $f(-x) = f(x)$. La gráfica es un espejo respecto al eje vertical.
• Simetría Impar (respecto al origen): Se cumple si $f(-x) = -f(x)$. La gráfica tiene una rotación de $180^\circ$ respecto al origen $(0,0)$.
• Periodicidad: Una función es periódica si $f(x + T) = f(x)$. Aunque es menos común en CCSS, es vital en fenómenos cíclicos.

Son los puntos donde la gráfica toca los ejes cartesianos:

• Eje OX (Abscisas): Hacemos $f(x) = 0$ y resolvemos la ecuación resultante. Los puntos son de la forma $(x, 0)$. Puede haber varios o ninguno.
• Eje OY (Ordenadas): Calculamos $f(0)$. El punto es $(0, f(0))$. Solo puede existir un punto de corte con el eje OY, si $0 \in Dom(f)$.

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Aparecen en valores de $x$ donde la función tiende a infinito. Suelen estar en los puntos que no pertenecen al dominio (en funciones racionales o logarítmicas).

• Cálculo: Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, entonces $x = a$ es una asíntota vertical.
• Es fundamental calcular los límites laterales para saber si la función sube o baja a cada lado de la asíntota.

Indican el comportamiento de la función cuando la $x$ se hace muy grande (positiva o negativamente).

• Cálculo: Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k$, entonces $y = k$ es una asíntota horizontal.
• En funciones racionales $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, existe asíntota horizontal si el grado de $P(x) \leq$ grado de $Q(x)$.

Son rectas de la forma $y = mx + n$. Solo existen si no hay asíntotas horizontales en ese sentido del infinito.

• Pendiente: $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ (debe ser un número real distinto de 0).
• Ordenada: $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.
• Las asíntotas horizontales y oblicuas son mutuamente excluyentes en un mismo lado del infinito ($\infty$ o $-\infty$).

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Para estudiar la monotonía, usamos el signo de $f'(x)$:

1. Si $f'(x) > 0$ en un intervalo, la función es creciente.
2. Si $f'(x) < 0$ en un intervalo, la función es decreciente.

Los puntos donde la función cambia de dirección se llaman extremos relativos.

• Puntos críticos: Son los valores donde $f'(x) = 0$.
• Criterio de la primera derivada: Si a la izquierda de un punto crítico la función crece y a la derecha decrece, hay un máximo. Si ocurre al revés, hay un mínimo.
• Criterio de la segunda derivada: Si $f'(a) = 0$:
  • $f''(a) > 0 \implies$ Mínimo relativo.
  • $f''(a) < 0 \implies$ Máximo relativo.

Consiste en encontrar el valor máximo o mínimo de una función en un contexto real (ej. maximizar beneficios o minimizar costes).

1. Definir la función objetivo.
2. Si hay dos variables, usar la condición de ligadura para dejar la función con una sola variable.
3. Derivar e igualar a cero para hallar el extremo óptimo.

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Existen diferentes convenios, pero el estándar en la LOMLOE suele ser:

• Convexa (o Cóncava hacia arriba $\cup$): $f''(x) > 0$. La función tiene forma de "valle".
• Cóncava (o Cóncava hacia abajo $\cap$): $f''(x) < 0$. La función tiene forma de "montaña".

Son los puntos donde la función cambia su curvatura (pasa de cóncava a convexa o viceversa).

• Condición necesaria: $f''(x) = 0$.
• Para confirmar que es un punto de inflexión, debe haber un cambio real de signo en la segunda derivada al pasar por ese punto. No basta con que la derivada segunda sea cero.

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Para dibujar la función con éxito, sigue este orden:

1. Dibuja los ejes y marca los puntos de corte.
2. Traza las asíntotas como líneas discontinuas.
3. Sitúa los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
4. Une los puntos siguiendo la monotonía y la curvatura calculadas.

En el ámbito de las Ciencias Sociales, estas funciones son muy comunes:

• Racionales: Representan a menudo costes medios. Suelen tener asíntotas verticales que indican valores prohibitivos de producción.
• Exponenciales: Modelizan el crecimiento de poblaciones o el interés compuesto. Se caracterizan por un crecimiento muy rápido y asíntotas horizontales (crecimiento limitado).

A veces el proceso es inverso: dada una gráfica, debemos deducir sus propiedades.

• Límites: Observar a qué valor tiende la $y$ cuando la $x$ se acerca a una discontinuidad o al infinito.
• Continuidad: Identificar saltos o puntos "huecos".
• Extremos: Localizar visualmente las "cimas" y "valles".

Resumen para el examen: No olvides nunca comprobar si los puntos críticos pertenecen al dominio antes de clasificarlos como extremos. ¡Un punto donde la función no existe no puede ser ni máximo ni mínimo!