Límites y continuidad

El concepto de límite describe el comportamiento de una función $f(x)$ cuando la variable $x$ se aproxima a un valor determinado $a$, sin llegar necesariamente a alcanzarlo. Decimos que el límite es $L$ si podemos hacer que $f(x)$ esté tan cerca de $L$ como queramos acercando $x$ a $a$.

Para que exista el límite de una función en un punto, es imprescindible que los límites laterales coincidan:

1. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (nos acercamos con valores menores que $a$).
2. Límite por la derecha: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (nos acercamos con valores mayores que $a$).

El límite existe si y solo si ambos límites laterales son iguales y finitos: $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

El estudio de los límites se divide en dos grandes escenarios:

• Límites en un punto ($x \to a$): Analizamos qué ocurre cerca de un valor concreto. El resultado puede ser un número real, $+\infty$, $-\infty$ o no existir.
• Límites en el infinito ($x \to \pm\infty$): Estudian el comportamiento asintótico. Nos indican si la función se estabiliza en un valor (asíntota horizontal) o si crece/decrece sin control.

Ejemplo: En $f(x) = \frac{1}{x}$, cuando $x \to 0^+$, el límite es $+\infty$. Cuando $x \to \infty$, el límite es $0$.

Si conocemos los límites de $f(x)$ y $g(x)$, podemos operar con ellos siguiendo reglas lógicas (álgebra de límites):

• Suma/Resta: $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$
• Producto: $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
• Cociente: $\lim (f / g) = \frac{\lim f}{\lim g}$ (siempre que el denominador no sea 0).
• Potencia: $\lim (f^g) = (\lim f)^{\lim g}$

Sin embargo, a veces estas operaciones nos llevan a situaciones donde el resultado no es evidente, lo que llamamos indeterminaciones.

• Tipo $\frac{0}{0}$: Suele aparecer en funciones racionales cuando $x$ tiende a un número que anula numerador y denominador.
  • Solución: Factorizar los polinomios (usando Ruffini o identidades notables) y simplificar el factor común $(x-a)$.
• Tipo $\frac{\infty}{\infty}$: Aparece al calcular límites en el infinito de funciones racionales.
  • Solución: Se comparan los grados de los polinomios.
    • Si $grado(N) > grado(D) \to \pm\infty$
    • Si $grado(N) < grado(D) \to 0$
    • Si $grado(N) = grado(D) \to$ Cociente de los coeficientes principales.

• Tipo $\infty - \infty$: Ocurre frecuentemente con raíces o fracciones.
  • Solución con radicales: Multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión irracional.
  • Solución con fracciones: Realizar la resta de fracciones obteniendo un denominador común para transformar la expresión en una de tipo $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$.

Aparece en límites del tipo $1^\infty$. Se resuelve aplicando la estructura del límite que define al número $e$: $\lim_{x \to a} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ Para fines prácticos en 2º de Bachillerato, si $\lim_{x \to a} f(x) = 1$ y $\lim_{x \to a} g(x) = \infty$, usamos la fórmula: $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x) - 1)]}$

Para que una función $f(x)$ sea continua en un punto $x = a$, debe cumplir tres condiciones estrictas:

1. Que exista la imagen del punto: $f(a)$ esté definida.
2. Que exista el límite de la función cuando $x \to a$.
3. Que el límite coincida con el valor de la imagen: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Si una función es continua en todos los puntos de un intervalo, decimos que es continua en dicho intervalo.

Si falla alguna de las condiciones anteriores, la función presenta una discontinuidad:

1. Evitable: Existe el límite y es finito, pero no coincide con $f(a)$ o $f(a)$ no existe. Se llama así porque bastaría redefinir un punto para hacerla continua.
2. De salto finito: Los límites laterales son finitos pero distintos. La diferencia entre ellos se llama "salto".
3. De salto infinito (o esencial): Al menos uno de los límites laterales es $\pm\infty$. Suele ocurrir en las asíntotas verticales.

Son funciones definidas mediante distintas fórmulas según el valor de $x$. El estudio de la continuidad se centra en los puntos de ruptura (donde cambia la fórmula).

• Se calculan los límites laterales en el punto de ruptura.
• Se igualan los límites para hallar valores de parámetros (como $k$ o $a$) que hagan que la función sea continua.

Si $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y el signo de la función en los extremos es distinto ($f(a) \cdot f(b) < 0$), entonces ==existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$==.

• Aplicación: Se usa para demostrar que una ecuación tiene al menos una solución (raíz) en un intervalo dado.

Es una generalización del de Bolzano. Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$, la función toma todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$. Si $k$ es un valor entre $f(a)$ y $f(b)$, existe un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = k$.

Si $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces la función alcanza en dicho intervalo un máximo absoluto y un mínimo absoluto. Es decir, la función está acotada y llega a sus valores extremos.

Son rectas de la forma $x = a$.

• Cálculo: Se buscan en los puntos que no pertenecen al dominio (donde el denominador se anula).
• Condición: $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$.
• Es fundamental estudiar los límites laterales para saber si la función sube a $+\infty$ o baja a $-\infty$ por cada lado.

Son rectas de la forma $y = L$.

• Cálculo: Se calcula el límite cuando $x$ tiende a infinito: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.
• Si el límite es un número finito $L$, existe una asíntota horizontal en $y = L$.
• Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales (una hacia $+\infty$ y otra hacia $-\infty$), aunque lo normal en funciones racionales es que sea la misma.

Son rectas de la forma $y = mx + n$ (con $m \neq 0$).

• Existencia: En funciones racionales, existen si el grado del numerador es exactamente uno más que el grado del denominador. Si hay asíntota horizontal, no hay oblicua.
• Cálculo de la pendiente ($m$): $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$
• Cálculo de la ordenada ($n$): $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$