Aplicaciones de la derivada

La derivada de una función $f(x)$ en un punto de abscisa $x = a$, denotada como $f'(a)$, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P(a, f(a))$.

• Si $f'(a) > 0$, la función crece y la tangente tiene pendiente positiva.
• Si $f'(a) = 0$, la tangente es horizontal.
• Si $f'(a) < 0$, la función decrece y la tangente tiene pendiente negativa.

La derivada es la tasa de variación instantánea de la función en ese punto preciso.

Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, utilizamos la fórmula punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

Pasos para el cálculo:

1. Calcular la imagen del punto: $f(a)$.
2. Obtener la función derivada $f'(x)$.
3. Calcular la pendiente evaluando la derivada: $m = f'(a)$.
4. Sustituir en la fórmula.

Ejemplo rápido: Si $f(x) = x^2$ en $x=1$. Tenemos $f(1)=1$ y $f'(x)=2x \Rightarrow f'(1)=2$. La recta es $y-1 = 2(x-1)$.

La recta normal es aquella que es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia $P(a, f(a))$. Por la relación de perpendicularidad entre rectas, sabemos que el producto de sus pendientes debe ser $-1$. Por tanto, la pendiente de la normal es $m_n = \frac{-1}{f'(a)}$.

La ecuación resulta: $y - f(a) = \frac{-1}{f'(a)}(x - a)$ (Siempre que $f'(a) \neq 0$). Si la tangente es horizontal, la normal es una recta vertical del tipo $x = a$.

El signo de la primera derivada determina si una función sube o baja:

• Creciente: $f(x)$ es creciente en un intervalo si para todo $x$ de ese intervalo, $f'(x) > 0$.
• Decreciente: $f(x)$ es decreciente si $f'(x) < 0$.

Para estudiar la monotonía, igualamos $f'(x) = 0$ para encontrar los puntos críticos y estudiamos el signo de la derivada en los intervalos resultantes.

Un punto crítico ocurre donde $f'(x) = 0$ o donde la derivada no existe. Estos son los candidatos a ser:

• Máximo relativo: La función pasa de crecer a decrecer.
• Mínimo relativo: La función pasa de decrecer a crecer.

Un extremo relativo solo puede existir si la función es continua en ese punto y cambia su tendencia de crecimiento.

Es un método alternativo y rápido para clasificar puntos críticos sin estudiar intervalos. Si $f'(a) = 0$:

1. Si $f''(a) > 0$, entonces en $x = a$ hay un mínimo relativo.
2. Si $f''(a) < 0$, entonces en $x = a$ hay un máximo relativo.
3. Si $f''(a) = 0$, el criterio no concluye (podría ser un punto de inflexión).

Según la convención del BOE (frecuentemente usada en España):

• Convexa ($\cup$): También llamada cóncava hacia arriba. Se da cuando $f''(x) > 0$. La función queda por encima de las tangentes.
• Cóncava ($\cap$): También llamada cóncava hacia abajo. Se da cuando $f''(x) < 0$. La función queda por debajo de las tangentes.

Son los puntos donde la función cambia su curvatura (pasa de cóncava a convexa o viceversa). Para que exista un punto de inflexión en $x = a$:

1. Debe cumplirse que $f''(a) = 0$ (o no existir la segunda derivada).
2. Debe haber un cambio de signo en $f''(x)$ al pasar por $a$.

Para representar una función de forma coherente, seguimos este esquema:

1. Dominio y cortes con los ejes.
2. Asíntotas (Verticales, Horizontales y Oblicuas).
3. Monotonía y Extremos (usando $f'(x)$).
4. Curvatura e Inflexión (usando $f''(x)$).
5. Simetría (Par o impar) para ahorrar trabajo.

Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$ y además $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $f'(c) = 0$ Geométricamente, esto significa que hay al menos un punto donde la tangente es horizontal.

Es una generalización del anterior. Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ Esto indica que existe un punto donde la pendiente de la tangente es igual a la pendiente de la secante que une los extremos del intervalo.

Es la herramienta definitiva para resolver límites con indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ Nota: Se puede aplicar sucesivamente si la indeterminación persiste, siempre que se verifiquen las hipótesis de derivabilidad.

El éxito en estos problemas depende del planteamiento inicial:

1. Identificar la función objetivo: ¿Qué queremos maximizar o minimizar? (ej. el área $A$, el coste $C$).
2. Escribir la función: A menudo depende de dos variables (ej. $x$ e $y$).
3. Relación de ligadura: Usar los datos del problema para encontrar una relación entre las variables y despejar una en función de la otra.

Una vez tenemos la función con una sola variable $f(x)$:

1. Derivamos e igualamos a cero: $f'(x) = 0$.
2. Obtenemos los candidatos a extremo.
3. Comprobación: Usamos la segunda derivada para confirmar si es máximo o mínimo.
4. Extremos absolutos: Si el dominio es un intervalo cerrado, debemos comparar los valores obtenidos con los valores de la función en los extremos del intervalo.

Los problemas típicos incluyen:

• Geometría: Hallar las dimensiones de un depósito cilíndrico para minimizar el material (superficie) dado un volumen fijo.
• Economía: Maximizar la función de beneficio $B(x) = I(x) - C(x)$, donde $I$ son ingresos y $C$ costes.
• Distancias: Encontrar el punto de una parábola más cercano a un punto externo (distancia mínima).

Recuerda siempre verificar que la solución tiene sentido en el contexto del problema (por ejemplo, una longitud no puede ser negativa).