Representación de funciones

El dominio ($Dom(f)$) es el conjunto de valores de $x$ para los cuales la función $f(x)$ tiene un valor real definido. Las restricciones principales que encontraremos son:

1. Funciones Racionales: El denominador no puede ser cero. Si $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, el dominio es $\mathbb{R} - \{x \mid Q(x) = 0\}$.
2. Funciones Irracionales de índice par: El radicando debe ser mayor o igual a cero. $\sqrt{g(x)} \implies g(x) \geq 0$.
3. Funciones Logarítmicas: El argumento debe ser estrictamente positivo. $\log(g(x)) \implies g(x) > 0$.
4. Funciones Exponenciales: Su dominio suele ser $\mathbb{R}$, a menos que el exponente tenga sus propias restricciones.

El dominio condiciona todo el estudio posterior, especialmente la búsqueda de asíntotas verticales y la continuidad.

Los puntos de corte nos dan referencias visuales inmediatas en el plano cartesiano.

• Corte con el eje Y (Ordenada en el origen): Se calcula haciendo $x = 0$. El punto es $(0, f(0))$. Solo puede existir un punto de corte con el eje Y (si $0 \in Dom(f)$).
• Corte con el eje X (Abscisas): Se calcula resolviendo la ecuación $f(x) = 0$. Los valores de $x$ obtenidos son las raíces de la función. Una función puede tener varios cortes con el eje X, o ninguno.

Identificar simetrías nos permite ahorrar la mitad del trabajo de cálculo:

• Simetría Par (respecto al eje Y): Se cumple si $f(-x) = f(x)$. La gráfica es un "espejo" respecto al eje vertical.
• Simetría Impar (respecto al origen): Se cumple si $f(-x) = -f(x)$. La gráfica presenta una rotación de 180º respecto al punto $(0,0)$.
• Periodicidad: Común en funciones trigonométricas como $\sin(x)$ o $\cos(x)$. Si $f(x + T) = f(x)$, basta con estudiar la función en un intervalo de longitud $T$.

Aparecen en los valores de $x$ donde la función tiende a infinito. Suelen estar en los puntos de discontinuidad de funciones racionales (donde el denominador es cero pero el numerador no). Se dice que $x = a$ es una asíntota vertical si: $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ Es crucial calcular los límites laterales para saber si la curva sube o baja a cada lado de la recta $x=a$.

Indican el comportamiento de la función cuando $x$ se hace muy grande o muy pequeño. Existe una asíntota horizontal $y = L$ si: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ Si existe asíntota horizontal en un extremo, no habrá asíntota oblicua en ese mismo extremo. Es importante estudiar la posición relativa de la curva respecto a la recta comparando los valores de la función y de $L$.

Son rectas de la forma $y = mx + n$. Solo se buscan si no hay asíntotas horizontales. Sus parámetros se calculan como:

1. $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ (debe ser un número real no nulo).
2. $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.

Si $m=0$, estaríamos ante una asíntota horizontal.

Aplicamos las reglas de derivación (producto, cociente, cadena). Una vez obtenida $f'(x)$, buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$. Estos puntos son candidatos a ser máximos o mínimos.

Para determinar la monotonía, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y los puntos críticos:

• Si $f'(x) > 0$ en un intervalo, la función es estrictamente creciente.
• Si $f'(x) < 0$ en un intervalo, la función es estrictamente decreciente.

Un punto crítico $x = c$ es un extremo relativo si hay un cambio en la monotonía:

• Máximo relativo: La función pasa de crecer a decrecer en $c$.
• Mínimo relativo: La función pasa de decrecer a crecer en $c$.

También podemos usar el criterio de la segunda derivada: si $f'(c) = 0$ y $f''(c) < 0$, es un máximo; si $f''(c) > 0$, es un mínimo. No olvides calcular la coordenada $y$ sustituyendo en la función original: $(c, f(c))$.

Derivamos $f'(x)$. En funciones racionales, es vital simplificar la primera derivada antes de volver a derivar para evitar cálculos innecesarios y errores algebraicos. Los puntos donde $f''(x) = 0$ son candidatos a puntos de inflexión.

Siguiendo el convenio más extendido en España (aunque puede variar, usaremos el estándar del BOE):

• Convexa (cara triste $\cap$): $f''(x) < 0$. También llamada cóncava hacia abajo.
• Cóncava (cara sonriente $\cup$): $f''(x) > 0$. También llamada cóncava hacia arriba.

Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia de curvatura (de cóncava a convexa o viceversa). Para que exista, debe cumplirse que $f''(x) = 0$ (o no existir la segunda derivada) y que efectivamente haya un cambio de signo en la curvatura a su izquierda y derecha.

Un punto de inflexión requiere que la función sea continua en ese punto y que exista una recta tangente.

Es muy útil crear una tabla resumen que incluya:

1. Puntos de corte con los ejes.
2. Máximos y mínimos (coordenadas exactas).
3. Puntos de inflexión.
4. Valores cercanos a las asíntotas verticales.

Para dibujar con éxito, sigue este orden:

1. Dibuja los ejes y marca las asíntotas con líneas discontinuas.
2. Sitúa los puntos clave (cortes, máximos, mínimos e inflexiones).
3. Dibuja las ramas infinitas (cómo se acerca la función a las asíntotas).
4. Une los puntos siguiendo la monotonía y la curvatura calculadas. Asegúrate de que el trazo sea suave en los puntos de inflexión.

Tras representar la función, es fácil identificar visualmente el Recorrido ($Im(f)$). Observamos los valores que toma el eje Y de abajo hacia arriba.

• Identifica si la función está acotada superior o inferiormente.
• Determina si existen máximos o mínimos absolutos (los valores más altos o bajos de toda la función).
• El recorrido se expresa generalmente como una unión de intervalos: $Im(f) = (-\infty, 5] \cup [10, +\infty)$.