Límites de funciones y continuidad

El concepto de límite describe el comportamiento de una función $f(x)$ cuando la variable independiente $x$ se aproxima a un valor determinado $a$. No nos interesa necesariamente qué ocurre exactamente en $x = a$, sino hacia qué valor "apunta" la función en las cercanías de ese punto.

Decimos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$, y se escribe: $\lim_{x \to a} f(x) = L$ Esto significa que podemos hacer que $f(x)$ esté tan cerca de $L$ como queramos, tomando valores de $x$ suficientemente próximos a $a$. Es vital entender que el valor del límite es independiente de si la función existe o no en el punto $a$; el límite se centra en la tendencia.

Para que el límite de una función en un punto exista, el comportamiento de la función al acercarse por la izquierda y por la derecha debe ser el mismo.

1. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (nos acercamos con valores menores que $a$).
2. Límite por la derecha: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (nos acercamos con valores mayores que $a$).

Condición de existencia: El límite global $\lim_{x \to a} f(x)$ existe si y solo si ambos límites laterales existen, son finitos y coinciden: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

A veces, al acercarnos a un punto, la función crece o decrece sin medida. En este caso, hablamos de límites infinitos ($\pm \infty$). Por otro lado, podemos estudiar qué ocurre cuando la propia $x$ se hace extremadamente grande o pequeña:

• Límite en $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Estudia el comportamiento de la función a la derecha del eje de abscisas.
• Límite en $-\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Estudia el comportamiento a la izquierda.

Si conocemos los límites de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, podemos operar con ellos de forma intuitiva:

• Suma/Resta: El límite de la suma es la suma de los límites.
• Producto/Cociente: Funcionan igual, siempre que en el cociente el denominador no tienda a cero.
• Potencia/Raíz: $\lim [f(x)]^{g(x)} = [\lim f(x)]^{\lim g(x)}$, siempre que la base sea positiva.

Una indeterminación no significa que el límite no exista, sino que la forma algebraica actual no nos permite saber el resultado. El caso $0/0$ suele aparecer en funciones racionales.

• Polinomios: Si al sustituir $x=a$ obtenemos $0/0$, significa que $(x-a)$ es un factor de ambos polinomios. Debemos factorizar (usando la regla de Ruffini o identidades notables) y simplificar.
• Raíces: Si aparecen raíces cuadradas, la técnica habitual es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión radical para eliminar la indeterminación.

Aparecen frecuentemente al estudiar el comportamiento en el infinito ($\infty/\infty$ o $\infty - \infty$).

1. Cociente de polinomios ($\infty/\infty$): Nos fijamos en los grados.
   • Grado Numerador > Grado Denominador $\to \pm\infty$.
   • Grado Numerador < Grado Denominador $\to 0$.
   • Grados iguales → Cociente de los coeficientes principales.
2. Resta de funciones ($\infty - \infty$): Si son fracciones, operamos para unirlas. Si hay raíces, multiplicamos por el conjugado.

La indeterminación $1^\infty$ es especial y está ligada a la definición del número $e$. Se resuelve aplicando la siguiente fórmula: Si $\lim_{x \to a} f(x) = 1$ y $\lim_{x \to a} g(x) = \infty$, entonces: $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x) - 1)]}$

Intuitivamente, una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, $f(x)$ es continua en $x = a$ si cumple tres condiciones:

1. Existe $f(a)$ (el punto pertenece al dominio).
2. Existe $\lim_{x \to a} f(x)$ (los límites laterales son iguales).
3. El valor del límite coincide con el valor de la función: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Si falla alguna de las condiciones anteriores, la función es discontinua:

• Evitable: Existe el límite finito, pero no coincide con $f(a)$ o $f(a)$ no existe. Se llama así porque bastaría redefinir un punto para hacerla continua.
• De salto finito: Los límites laterales son finitos pero distintos. La diferencia entre ellos es el "salto".
• De salto infinito (esencial): Al menos uno de los límites laterales es $\pm \infty$.

Para estudiar la continuidad en estas funciones, debemos centrarnos en los puntos de unión. En estos puntos, es obligatorio calcular los límites laterales (usando la expresión de la función correspondiente a cada lado) y comprobar si coinciden con el valor de la función en dicho punto.

Ocurren en los valores de $x$ donde la función tiende a infinito. Suelen encontrarse en los puntos que anulan el denominador (pero no el numerador) de una función racional.

• Ecuación: $x = a$.
• Condición: $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.

Indican el valor al que se estabiliza la función cuando $x$ se hace muy grande o muy pequeña.

• Ecuación: $y = L$.
• Condición: $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ (donde $L$ es un número real).

Son rectas de la forma $y = mx + n$. Solo existen si no hay asíntota horizontal en ese sentido ($\infty$).

• Pendiente: $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.
• Ordenada en el origen: $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.
• En funciones racionales, existe asíntota oblicua si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador.

Es uno de los más usados para localizar soluciones de ecuaciones.

• Enunciado: Si $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y los signos de $f(a)$ y $f(b)$ son distintos ($f(a) \cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.
• Utilidad: Asegura que la función corta al eje $X$ al menos una vez en ese intervalo.

Es una generalización del Teorema de Bolzano.

• Enunciado: Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$, la función toma todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$.
• Interpretación: Si una función pasa de valer 2 a valer 10 de forma continua, en algún momento ha tenido que valer 5, 7 o cualquier número intermedio.

Se centra en los valores extremos de una función.

• Enunciado: Si $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, entonces $f(x)$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo.
• Importancia: Garantiza que bajo condiciones de continuidad y compacidad (intervalo cerrado), la función no puede crecer o decrecer indefinidamente.