Derivadas y técnicas de derivación

Para entender la derivada, primero debemos comprender cómo varía una función en un intervalo. La Tasa de Variación Media (TVM) de una función $f(x)$ en un intervalo $[a, a+h]$ se define como el cociente entre la variación de la función y la variación de la variable independiente:

$TVM[a, a+h] = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Físicamente, si $f(t)$ representa la posición de un objeto, la TVM es la velocidad media. Si queremos conocer la velocidad en un instante preciso, debemos hacer que el intervalo $h$ sea cada vez más pequeño, tendiendo a cero. Esto nos lleva al concepto de Tasa de Variación Instantánea (TVI) o derivada.

La derivada de una función $f(x)$ en un punto $x = a$ es el límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Si este límite existe y es finito, decimos que la función es derivable en $a$. La función derivada $f'(x)$ es aquella que asigna a cada punto $x$ el valor de la derivada en dicho punto. La derivada representa la rapidez de cambio de una función en un punto determinado.

Geométricamente, la derivada $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $(a, f(a))$.

1. Recta Tangente: Su ecuación se obtiene mediante la fórmula punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$
2. Recta Normal: Es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Su pendiente es la inversa negativa de la pendiente de la tangente ($-1/f'(a)$): $y - f(a) = \frac{-1}{f'(a)}(x - a)$

Existe una jerarquía fundamental entre estos dos conceptos: Si una función es derivable en un punto, entonces es obligatoriamente continua en dicho punto.

Sin embargo, el recíproco no es cierto. Una función puede ser continua pero no derivable. El ejemplo clásico es la función valor absoluto $f(x) = |x|$ en $x=0$. En este punto, la función es continua (no hay salto), pero presenta un punto anguloso donde la pendiente cambia bruscamente.

Para que una función sea derivable en $x=a$, deben existir sus derivadas laterales y ser iguales:

• Derivada por la izquierda: $f'(a^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
• Derivada por la derecha: $f'(a^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

==La condición de derivabilidad exige que $f'(a^-) = f'(a^+)$.== Si son distintas, estamos ante un punto anguloso o una cúspide.

En las funciones definidas a trozos, el análisis de la derivabilidad en los puntos de unión requiere dos pasos obligatorios:

1. Comprobar la continuidad en el punto de unión (límites laterales e imagen iguales).
2. Comprobar la derivabilidad igualando las derivadas laterales.

Este procedimiento es vital para calcular parámetros (como $a$ y $b$) que hagan que una función sea "suave" (derivable) en todo su dominio.

Sean $u$ y $v$ funciones de $x$, y $k$ una constante:

• Suma/Resta: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• Producto: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
• Cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$
• Constante por función: $(k \cdot u)' = k \cdot u'$

Es la regla para derivar la composición de funciones $f(g(x))$. Se conoce como la "regla de la cebolla", derivando de fuera hacia dentro: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Ejemplo: Para derivar $y = \sin(x^2)$, identificamos $f(u) = \sin(u)$ y $g(x) = x^2$. La derivada es $y' = \cos(x^2) \cdot 2x$.

1. Derivación Implícita: Se usa cuando $y$ no está despejada (ej. $x^2 + y^2 = 25$). Derivamos ambos lados respecto a $x$, tratando a $y$ como una función $y(x)$ y aplicando la regla de la cadena (cada vez que derivemos $y$, añadimos $y'$).
2. Derivación Logarítmica: Útil para funciones del tipo $f(x)^{g(x)}$. Aplicamos logaritmos neperianos a ambos lados para bajar el exponente y luego derivamos.

Si una función $f(x)$ es:

1. Continua en $[a, b]$
2. Derivable en $(a, b)$
3. $f(a) = f(b)$

Entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$. Geométricamente, esto significa que hay al menos un punto donde la tangente es horizontal.

Es una generalización del Teorema de Rolle. Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe un punto $c \in (a, b)$ tal que: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

La interpretación física es que existe un instante donde la velocidad instantánea es igual a la velocidad media de todo el trayecto.

Si $f(x)$ y $g(x)$ son continuas en $[a, b]$ y derivables en $(a, b)$, existe un punto $c \in (a, b)$ tal que: $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ Este teorema es la base teórica para demostrar la Regla de L'Hôpital.

La Regla de L'Hôpital permite resolver límites que presentan indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Si $f$ y $g$ son derivables en un entorno de $a$ y el límite del cociente de sus derivadas existe, entonces: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ Nota importante: Se derivan el numerador y el denominador por separado, no como un cociente de funciones.

Muchos límites pueden transformarse para aplicar L'Hôpital:

• $0 \cdot \infty$: Se transforma en cociente: $f \cdot g = \frac{f}{1/g}$.
• $\infty - \infty$: Se suele resolver mediante común denominador o racionalización.
• $1^\infty, 0^0, \infty^0$: Se resuelven tomando logaritmos: $L = \lim A^B \implies \ln(L) = \lim (B \cdot \ln A)$.

Cuando $x \to \infty$, no todas las funciones crecen con la misma rapidez. Existe una jerarquía de crecimiento que permite resolver límites por simple inspección:

1. Exponenciales ($a^x, a > 1$): Los más rápidos.
2. Potenciales/Polinómicas ($x^n$): Crecen rápido, pero menos que las exponenciales.
3. Logarítmicas ($\ln x$): Son los infinitos más lentos.

Orden de magnitud: $\ln(x) \ll x^n \ll a^x \ll x^x$. Esta comparación es extremadamente útil para validar resultados obtenidos por L'Hôpital o para resolver límites directos en el examen de la EBAU.