Integrales indefinidas

Dada una función $f(x)$, decimos que $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$ si se cumple que la derivada de $F(x)$ es igual a $f(x)$ para todo $x$ en su dominio: $F'(x) = f(x)$

Sin embargo, debido a que la derivada de una constante es cero, si $F(x)$ es una primitiva, entonces $F(x) + C$ también lo es. A este conjunto de todas las primitivas se le denomina integral indefinida y se representa como: $\int f(x) \, dx = F(x) + C$

Donde $C$ es la constante de integración. Geométricamente, la integral indefinida representa una familia de curvas paralelas; todas tienen la misma pendiente en cada punto $x$, pero están desplazadas verticalmente.

Propiedades de linealidad:

1. $\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$
2. $\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$ (donde $k$ es una constante real).

Son aquellas que se obtienen directamente invirtiendo las reglas de derivación. Es esencial memorizar la tabla fundamental:

Cuando la función a integrar es una composición, utilizamos la versión inversa de la regla de la cadena. Si tenemos una función $f(u(x)) \cdot u'(x)$, su integral es la primitiva de la función externa evaluada en la interna.

Ejemplo práctico: Para resolver $\int 3x^2 \cdot e^{x^3} \, dx$, identificamos que $3x^2$ es exactamente la derivada de $x^3$. Por tanto, la integral es $e^{x^3} + C$. Ajuste de constantes: Si nos falta un número multiplicando, podemos introducirlo dentro de la integral siempre que lo compensemos dividiendo fuera: $\int \cos(5x) \, dx = \frac{1}{5} \int 5 \cos(5x) \, dx = \frac{1}{5} \sin(5x) + C$

Este método se deriva de la regla de la derivada de un producto. La fórmula fundamental es: $\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$

Para elegir qué parte de la integral será $u$ (la que derivamos) y cuál será $dv$ (la que integramos), utilizamos la regla mnemotécnica ALPES:

• A: Arcos (arcsin, arccos, arctan)
• L: Logaritmos
• P: Polinomios (potencias de $x$)
• E: Exponenciales
• S: Senos y Cosenos

1. Polinómica $\times$ Exponencial/Trigonométrica: Se elige $u$ como el polinomio para que su grado baje al derivar.
   • Ejemplo: $\int x \cdot e^x \, dx$. Elegimos $u=x \Rightarrow du=dx$; $dv=e^x dx \Rightarrow v=e^x$.
2. Funciones logarítmicas o arco aisladas: Aunque no parezca un producto, se toma $dv = dx$.
   • Ejemplo: $\int \ln(x) \, dx$. Elegimos $u=\ln(x)$ y $dv=dx$.

Ocurren frecuentemente con productos de exponenciales y senos/cosenos. Tras aplicar el método dos veces, reaparece la integral original con signo negativo o coeficiente distinto. En este punto, no seguimos integrando, sino que despejamos la integral como si fuera una incógnita en una ecuación algebraica.

Si el grado de $P(x) \geq$ grado de $Q(x)$, primero debemos realizar la división de polinomios: $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$

Una vez que el grado del numerador es menor, descomponemos el denominador en factores:

1. Raíces reales simples: $\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$
2. Raíces reales múltiples: $\frac{1}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$

Si el denominador tiene raíces imaginarias (polinomios de 2º grado sin solución real), el resultado suele involucrar una mezcla de un logaritmo y una arcotangente.

• Si tenemos $\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx$, el resultado es $\frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$.
• Si el numerador tiene una $x$, buscamos primero la derivada del denominador para obtener un logaritmo neperiano.

El proceso crítico es el cálculo de coeficientes ($A, B, C...$). Se realiza dando valores a $x$ (preferiblemente las raíces del denominador) o igualando los coeficientes de los polinomios resultantes tras sumar las fracciones.

Este método consiste en sustituir una parte de la expresión por una nueva variable $t$ para simplificar la integral. Los pasos son:

1. Elegir el cambio: $u(x) = t$.
2. Diferenciar ambos lados: $u'(x) dx = dt$.
3. Sustituir todas las apariciones de $x$ y $dx$ en la integral.

• Raíces: Si aparece $\sqrt{ax+b}$, solemos hacer $ax+b = t^2$ para eliminar la raíz.
• Exponenciales: Si aparece $e^x$, el cambio $e^x = t$ suele ser efectivo.
• Denominadores: A veces, llamar $t$ a todo el denominador simplifica la expresión radicalmente.

Es obligatorio deshacer el cambio al finalizar la integración. Si la integral original estaba en función de $x$, el resultado final debe estar en función de $x$, no de $t$. Consejo: Siempre podemos verificar el resultado derivando nuestra solución; si obtenemos la función original, el proceso es correcto.

1. Exponente impar: Si tenemos $\sin^n(x)$ con $n$ impar, separamos un $\sin(x)$ y convertimos el resto a cosenos usando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Luego hacemos el cambio $t = \cos x$.
2. Exponente par: Se utilizan las fórmulas del ángulo doble para reducir el grado:
   • $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
   • $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

Para integrales del tipo $\int \sin(mx) \cos(nx) \, dx$, se utilizan las identidades de transformación de producto en suma:

• $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
• $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$

Cuando aparecen estructuras pitagóricas bajo raíces, usamos sustituciones que aprovechan la identidad $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:

• Para $\sqrt{a^2 - x^2}$: Usar $x = a \cdot \sin t$ o $x = a \cdot \cos t$.
• Para $a^2 + x^2$: Usar $x = a \cdot \tan t$ (típico para arcotangentes).
• Cambio universal: Para funciones racionales de senos y cosenos, el cambio $t = \tan(x/2)$ transforma cualquier expresión trigonométrica en una algebraica racional.