Integral definida y cálculo de áreas

La integral definida surge históricamente del problema de calcular el área de figuras irregulares. Bernhard Riemann formalizó este proceso mediante el uso de rectángulos.

1. Sumas de Riemann: Si dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos pequeños, podemos aproximar el área bajo una función $f(x)$ sumando las áreas de rectángulos.
   • Suma Inferior ($s$): Usa el valor mínimo de la función en cada intervalo.
   • Suma Superior ($S$): Usa el valor máximo de la función en cada intervalo.
2. El Límite y la Integral: A medida que el número de rectángulos tiende a infinito ($n \to \infty$), las sumas superior e inferior convergen a un único valor. Ese valor común es la integral definida de la función en ese intervalo: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$
3. Interpretación Geométrica: Si $f(x) \geq 0$ en $[a, b]$, la integral definida representa el área exacta comprendida entre la gráfica de la función, el eje $X$ y las rectas verticales $x=a$ y $x=b$.

Para operar con integrales de forma eficiente, debemos conocer sus propiedades algebraicas:

• Linealidad:
  • $\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx$
  • $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ (donde $k$ es una constante).
• Aditividad del intervalo: Si $c$ es un punto tal que $a < c < b$, entonces: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$
• Monotonía: Si $f(x) \leq g(x)$ en todo el intervalo $[a, b]$, entonces $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \, dx$.
• Inversión de límites: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$.

Este teorema establece que, para una función continua en $[a, b]$, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que el área bajo la curva es igual al área de un rectángulo de base $(b-a)$ y altura $f(c)$.

Fórmula: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c) \cdot (b-a)$

El valor $f(c)$ se denomina valor medio de la función en el intervalo. En física, esto se traduce, por ejemplo, en la velocidad media de un objeto durante un trayecto si conocemos su función de velocidad instantánea.

Definimos la función integral $F(x)$ como aquella que acumula el área bajo la curva $f(t)$ desde un punto fijo $a$ hasta un punto variable $x$: $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ Es crucial entender que $F(x)$ es una función cuya variable independiente está en el límite superior de la integración. Si $f$ es continua, $F(x)$ es también continua y derivable.

Este teorema establece la conexión directa entre la derivación y la integración. Indica que la derivada de la función integral es la propia función original: $F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right] = f(x)$ Extensión (Regla de la cadena): Si el límite superior es una función $g(x)$, la derivada se calcula como: $\frac{d}{dx} \left[ \int_{a}^{g(x)} f(t) \, dt \right] = f(g(x)) \cdot g'(x)$ Este teorema es vital para resolver problemas de optimización donde la función a maximizar está definida mediante una integral.

También conocida como el Segundo Teorema Fundamental, es la herramienta práctica para calcular integrales definidas sin recurrir a límites de sumas. Si $G(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$ (es decir, $G'(x) = f(x)$), entonces: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [G(x)]_a^b = G(b) - G(a)$ Pasos para aplicar Barrow:

1. Hallar la integral indefinida (primitiva).
2. Sustituir el límite superior en la primitiva.
3. Restar el valor de la primitiva en el límite inferior.

El área no puede ser negativa. Sin embargo, la integral definida sí puede serlo si la función está por debajo del eje $X$.

1. Puntos de corte: Resolvemos $f(x) = 0$ para encontrar dónde la función cruza el eje $X$ dentro del intervalo $[a, b]$.
2. Intervalos: Si hay cortes en $x_1, x_2...$, dividimos la integral.
3. Valor absoluto: Sumamos los valores absolutos de cada recinto: $Área = |\int_{a}^{x_1} f(x) \, dx| + |\int_{x_1}^{b} f(x) \, dx|$

Para hallar el área entre $f(x)$ y $g(x)$:

1. Intersección: Igualamos $f(x) = g(x)$ para hallar los límites de integración.
2. Identificación: Determinamos qué función está por encima ("techo") y cuál por debajo ("suelo") en el intervalo.
3. Planteamiento: $Área = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \quad \text{donde } f(x) \geq g(x)$

Cuando intervienen tres o más funciones, es imprescindible realizar un esbozo gráfico.

• Identificamos todos los puntos de intersección entre todos los pares de funciones.
• Dividimos el recinto total en sub-recintos verticales donde el "techo" y el "suelo" sean funciones constantes.
• Sumamos las integrales de cada sub-recinto.

Las funciones con valor absoluto, como $|x^2 - 4|$, son funciones definidas a trozos encubiertas.

• Paso 1: Estudiar el signo del interior del valor absoluto.
• Paso 2: Romper la integral en los puntos donde el signo cambia.
  • Ejemplo: $\int_{0}^{3} |x-2| \, dx = \int_{0}^{2} -(x-2) \, dx + \int_{2}^{3} (x-2) \, dx$.

Cuando una región plana gira alrededor de un eje, genera un sólido. En 2º de Bachillerato se estudia principalmente la rotación alrededor del eje X (Método de los discos). La fórmula para el volumen generado por $f(x)$ entre $a$ y $b$ es: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ El factor $\pi$ y el cuadrado de la función son los errores más comunes en los exámenes de EvAU; no los olvides.

La integral definida tiene aplicaciones directas en problemas de la vida real:

• Cinemática: Si $v(t)$ es la velocidad, el desplazamiento es $\int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$. Si queremos la distancia total recorrida, usamos $\int_{t_1}^{t_2} |v(t)| \, dt$.
• Acumulación: Si una función representa el ritmo de crecimiento de una población, su integral representa el incremento total de individuos en un tiempo dado.

Consejo para el examen: Siempre que calcules un área, el resultado final debe ser positivo y expresado en unidades cuadradas ($u^2$). Si calculas un volumen, usa unidades cúbicas ($u^3$).