Límites y continuidad de funciones

El concepto de límite responde a la pregunta: ¿A qué valor se acerca la función $f(x)$ cuando la variable $x$ se aproxima a un valor concreto $a$?

A diferencia de calcular simplemente $f(a)$, el límite se centra en la tendencia. Imaginemos que nos acercamos al número $2$ en el eje X. Podemos tomar valores como $1,9$, $1,99$, $1,999$ (por la izquierda) o $2,1$, $2,01$, $2,001$ (por la derecha). Si al hacer esto, los valores de $f(x)$ se estabilizan en torno a un número $L$, decimos que ese es el límite.

• Entorno: Es el intervalo pequeño que rodea al punto $a$.
• Tendencia: No nos importa qué ocurre exactamente en $x = a$, sino qué ocurre en sus cercanías.

Para que una función tenga un comportamiento predecible en un punto, debe acercarse al mismo valor desde ambos lados:

1. Límite por la izquierda: Se denota como $\lim_{x \to a^-} f(x)$. Observamos el valor de la función cuando nos acercamos a $a$ con valores menores que $a$.
2. Límite por la derecha: Se denota como $\lim_{x \to a^+} f(x)$. Observamos el valor cuando nos acercamos con valores mayores que $a$.

Para que exista el límite de una función en un punto, los límites laterales deben ser iguales y finitos.

La expresión formal se escribe así: $\lim_{x \to a} f(x) = L$ Esto se lee: "El límite de la función $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es igual a $L$".

• Si $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$, entonces el límite existe.
• Si los límites laterales son distintos, decimos que no existe el límite en ese punto.

Si conocemos los límites de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ cuando $x \to a$, podemos operar con ellos de forma intuitiva:

• Suma/Resta: $\lim (f \pm g) = \lim f \pm \lim g$
• Producto: $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
• Cociente: $\lim (f / g) = \lim f / \lim g$ (siempre que el denominador no sea 0).
• Potencia: $\lim (f^g) = (\lim f)^{\lim g}$

Para la mayoría de las funciones que estudiamos (polinómicas, racionales simples, exponenciales), el primer paso para calcular un límite es la sustitución directa.

Ejemplo: $\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 2^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

En las funciones polinómicas, el límite en un punto real siempre coincide con el valor de la función en ese punto.

A veces, al sustituir, obtenemos expresiones que no tienen un valor definido inmediatamente. La más común es la forma $0/0$.

Cuando esto ocurre en funciones racionales (fracciones de polinomios), significa que tanto el numerador como el denominador se anulan en ese punto. Para resolver la indeterminación $0/0$ en polinomios, debemos factorizar numerador y denominador y simplificar el factor común.

Ejemplo: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{0}{0} \text{ (Indeterminación)}$ Factorizamos: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$. Calculamos el límite de la expresión simplificada: $3+3 = 6$.

Estudiamos qué ocurre con $f(x)$ cuando la $x$ se hace enormemente grande positiva ($+\infty$) o negativa ($-\infty$).

• Si $f(x) = x^2$, cuando $x \to \infty$, $f(x) \to \infty$.
• Si $f(x) = 1/x$, cuando $x \to \infty$, $f(x) \to 0$.

Al trabajar con infinitos, aparecen nuevos retos:

1. Caso $\infty / \infty$: Ocurre en cocientes de polinomios. La regla rápida es comparar los grados:

   • Grado Numerador > Grado Denominador → El resultado es $\pm \infty$.
   • Grado Numerador < Grado Denominador → El resultado es $0$.
   • Grado Numerador = Grado Denominador → El resultado es el cociente de los coeficientes principales.

2. Caso $\infty - \infty$: Suele resolverse operando las fracciones o multiplicando por el conjugado si hay raíces.

Si al acercarnos a un punto $a$, el valor de $f(x)$ crece sin parar, decimos que el límite es $\infty$. Esto sucede típicamente cuando dividimos un número distinto de cero por algo que tiende a cero ($k/0$). Es fundamental estudiar los signos mediante límites laterales para saber si tiende a $+\infty$ o $-\infty$.

Ocurren en los valores de $x$ que no pertenecen al dominio (donde el denominador es cero). ==Existe una asíntota vertical en $x = a$ si al menos uno de los límites laterales en ese punto es $\infty$.==

Indican el comportamiento de la función a largo plazo (en el eje X). Existe una asíntota horizontal en $y = L$ si: $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{o} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ Si una función tiene asíntota horizontal, no suele tener oblicua en el mismo lado.

Son rectas de la forma $y = mx + n$. Aparecen en funciones racionales cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador.

• La pendiente $m$ se puede hallar como $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.
• También se pueden hallar realizando la división polinómica; el cociente de la división es la ecuación de la asíntota.

Intuitivamente, una función es continua si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, $f(x)$ es continua en $x = a$ si cumple tres condiciones:

1. Existe $f(a)$ (la función está definida).
2. Existe $\lim_{x \to a} f(x)$ (los límites laterales son iguales).
3. Ambos valores coinciden: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Cuando falla alguna condición, la función es discontinua:

Para estudiar la continuidad en estas funciones, debemos poner especial atención en los puntos de ruptura (donde cambia la fórmula). En una función a trozos, debemos calcular los límites laterales en el punto de cambio y comprobar si coinciden con el valor de la función en dicho punto.

• La suma, resta y producto de funciones continuas es otra función continua.
• El cociente es continuo excepto donde el denominador se anula.
• Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$).
• Las funciones racionales son continuas en todo su dominio (excluyendo las raíces del denominador).