Additionner des nombres decimaux

Un nombre décimal est un nombre qui a une partie avant la virgule et une partie après la virgule. Il est composé de deux parties :

• La partie entière : ce sont les chiffres avant la virgule. Ils représentent les unités, les dizaines, les centaines...
• La partie décimale : ce sont les chiffres après la virgule. Ils représentent des morceaux plus petits que l'unité. La virgule sépare la partie entière de la partie décimale. On utilise les nombres décimaux pour les prix (€), les mesures (m, kg), etc.

Exemple : Dans 2,50 €, 2 est la partie entière (2 euros) et 50 est la partie décimale (50 centimes).

Chaque chiffre après la virgule a une place spéciale :

• Le premier chiffre après la virgule est le chiffre des dixièmes. C'est $\frac{1}{10}$ de l'unité.
• Le deuxième chiffre après la virgule est le chiffre des centième. C'est $\frac{1}{100}$ de l'unité.
• Le troisième chiffre après la virgule est le chiffre des millièmes. C'est $\frac{1}{1000}$ de l'unité.

Exemple : Dans 3,456

• 4 est le chiffre des dixièmes.
• 5 est le chiffre des centièmes.
• 6 est le chiffre des millièmes.

Pour lire un nombre décimal, on lit d'abord la partie entière, puis "virgule", et enfin la partie décimale. Exemple : 12,34 se lit "douze virgule trente-quatre". On peut aussi dire "douze unités et trente-quatre centièmes". Attention aux zéros !

• Les zéros à la fin de la partie décimale sont inutiles : 2,50 = 2,5. Ils ne changent pas la valeur du nombre.
• Les zéros entre la virgule et un autre chiffre sont utiles : 3,05 n'est pas égal à 3,5.

Pour bien additionner des nombres décimaux, il faut absolument les aligner. Cela veut dire que :

• Les virgules doivent être les unes sous les autres.
• Les unités doivent être sous les unités.
• Les dixièmes doivent être sous les dixièmes, et ainsi de suite.

Exemple : Pour additionner 12,5 et 3,25

  12,5
+  3,25
-------

Pour que l'alignement soit plus simple, on peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale. Cela ne change pas la valeur du nombre. Exemple : 12,5 peut s'écrire 12,50.

  12,50  (on a ajouté un zéro à 12,5)
+  3,25
--------

Ajouter des zéros permet d'avoir le même nombre de chiffres après la virgule pour tous les nombres.

Un tableau de numération peut aider à bien aligner les nombres.

La virgule a sa propre colonne imaginaire pour rester bien alignée.

On commence toujours par la droite, comme pour les nombres entiers.

1. Additionne les centièmes ensemble.
2. Additionne les dixièmes ensemble.

Exemple : $1,23 + 4,51$

  1,23
+ 4,51
------
    74  (3+1=4 centièmes, 2+5=7 dixièmes)

Après avoir additionné la partie décimale, on place la virgule dans le résultat, exactement sous les autres virgules. Ensuite, on additionne la partie entière :

1. Additionne les unités ensemble.
2. Additionne les dizaines ensemble.

Exemple : suite de $1,23 + 4,51$

  1,23
+ 4,51
------
  5,74  (1+4=5 unités)

N'oublie pas de placer la virgule au bon endroit dans le résultat.

C'est une étape importante pour voir si ton résultat est logique.

1. Estime les nombres en les arrondissant à l'unité la plus proche. Exemple : pour $1,23 + 4,51$, on arrondit à $1 + 5 = 6$.
2. Ton résultat (5,74) est proche de 6. C'est un bon signe ! Si ton résultat est très différent de ton estimation, c'est que tu as sûrement fait une erreur.

Les retenues fonctionnent exactement comme avec les nombres entiers. Quand la somme des chiffres d'une colonne dépasse 9, on met la retenue dans la colonne d'à côté (à gauche).

• Si la somme des centièmes est 10 ou plus, on met la retenue aux dixièmes.
• Si la somme des dixièmes est 10 ou plus, on met la retenue aux unités.

Exemple : $1,28 + 3,45$

  1,28
+ 3,45
------
     3  (8+5=13 centièmes, j'écris 3 et je retiens 1 aux dixièmes)

Les retenues continuent de la même manière dans la partie entière.

• Si la somme des unités (avec la retenue des dixièmes) est 10 ou plus, on met la retenue aux dizaines.
• Et ainsi de suite.

Exemple : suite de $1,28 + 3,45$

  1
  1,28
+ 3,45
------
  4,73  (2+4+1(retenue)=7 dixièmes, 1+3=4 unités)

Posons l'addition : $5,75 + 2,68$

1. On aligne les nombres et les virgules :

     5,75
   + 2,68
   -------
   

2. On commence par les centièmes : $5 + 8 = 13$. J'écris 3 et je retiens 1 (au-dessus des dixièmes).

     1
     5,75
   + 2,68
   -------
        3
   

3. On passe aux dixièmes : $7 + 6 + 1$ (retenue) $= 14$. J'écris 4 et je retiens 1 (au-dessus des unités).

     1 1
     5,75
   + 2,68
   -------
       43
   

4. On place la virgule.

     1 1
     5,75
   + 2,68
   -------
      ,43
   

5. On termine par les unités : $5 + 2 + 1$ (retenue) $= 8$.

     1 1
     5,75
   + 2,68
   -------
     8,43
   

Le résultat est 8,43. Il faut bien écrire les retenues pour ne pas les oublier.

Dans un problème, on cherche :

• Les nombres décimaux importants.
• Les mots-clés qui indiquent une addition : "total", "ensemble", "ajouter", "en tout", "somme".
• La question posée, pour savoir ce que l'on doit trouver.

Exemple : "Juliette achète une pomme à 0,80 € et une banane à 0,65 €. Combien dépense-t-elle en tout ?" Mots-clés : "en tout". Nombres : 0,80 et 0,65. Question : le total des dépenses.

Quand un problème demande de regrouper des quantités, de trouver un total ou une somme, on utilise l'addition.

• Achats : calculer le prix total.
• Mesures : calculer la longueur totale de plusieurs morceaux.
• Distances : calculer la distance parcourue en plusieurs étapes.

Pour bien présenter ton travail :

1. Écris l'opération que tu vas faire (l'addition posée).
2. Fais le calcul.
3. Écris une phrase réponse claire qui répond à la question du problème. N'oublie pas l'unité (euros, mètres, etc.).

Exemple : Pour le problème de Juliette Calcul :

  0,80
+ 0,65
-------
  1,45

Phrase réponse : "Juliette dépense 1,45 € en tout."