Équations et inéquations

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs valeurs inconnues, souvent représentées par une lettre comme $x$. Son but est de trouver la valeur de cette (ou ces) inconnue(s) pour que l'égalité soit vraie.

Le ==signe égal ($=$)== sépare l'équation en deux parties :

• Le membre de gauche : ce qui est avant le signe égal.
• Le membre de droite : ce qui est après le signe égal.

Exemple : $2x + 3 = 7$ Ici, $2x + 3$ est le membre de gauche et $7$ est le membre de droite. L'inconnue est $x$.

• Solution d'une équation : C'est la valeur (ou les valeurs) de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Une équation peut avoir une, plusieurs ou aucune solution.
• Résoudre une équation : C'est trouver toutes ses solutions.
• Vérifier une solution : C'est remplacer l'inconnue par la solution trouvée dans l'équation de départ et s'assurer que l'égalité est respectée.
• Équations équivalentes : Deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions. On cherche toujours à transformer une équation complexe en une équation équivalente plus simple à résoudre.

Pour vérifier si une valeur est solution d'une équation, on suit ces étapes :

1. On remplace l'inconnue par la valeur donnée dans chaque membre de l'équation.
2. On calcule séparément la valeur de chaque membre.
3. On compare les résultats :
   • Si les deux résultats sont égaux, l'égalité est vraie pour cette valeur.
   • Si les deux résultats sont différents, l'égalité est fausse pour cette valeur.

Exemple : L'égalité $3x - 5 = x + 1$ est-elle vraie pour $x = 3$ ?

• Membre de gauche : $3 \times 3 - 5 = 9 - 5 = 4$
• Membre de droite : $3 + 1 = 4$ Comme $4 = 4$, l'égalité est vraie pour $x=3$. Donc $3$ est une solution de l'équation.

Pour résoudre une équation, l'objectif est d'isoler l'inconnue (souvent $x$) d'un côté du signe égal. Pour cela, on peut effectuer les mêmes opérations des deux côtés de l'équation sans changer ses solutions. C'est comme une balance : pour qu'elle reste en équilibre, tout ce que tu ajoutes ou retires d'un côté doit l'être aussi de l'autre.

Voici les règles fondamentales :

• Addition ou soustraction : On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation. Si $a = b$, alors $a + c = b + c$ et $a - c = b - c$.
• Multiplication ou division : On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par un même nombre non nul. Si $a = b$, alors $a \times c = b \times c$ et $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (avec $c \neq 0$).

Pour isoler $x$, on doit se débarrasser du "$+a$". On va donc soustraire $a$ des deux côtés. $x + a = b$ $x + a - a = b - a$ $x = b - a$

Exemple : $x + 7 = 12$ $x + 7 - 7 = 12 - 7$ $x = 5$ Vérification : $5 + 7 = 12$. C'est correct.

Pour isoler $x$, on doit se débarrasser du "$a$" qui multiplie $x$. On va donc diviser par $a$ des deux côtés (en supposant $a \neq 0$). $ax = b$ $\frac{ax}{a} = \frac{b}{a}$ $x = \frac{b}{a}$

Exemple : $3x = 15$ $\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$ $x = 5$ Vérification : $3 \times 5 = 15$. C'est correct. Attention : Si $a=0$, l'équation devient $0x = b$.

• Si $b=0$, alors $0x=0$ est vraie pour tout $x$. Il y a une infinité de solutions.
• Si $b \neq 0$, alors $0x=b$ n'a aucune solution.

C'est une combinaison des deux types précédents. On commence par isoler le terme en $x$ (le $ax$), puis on isole $x$.

Étapes de résolution :

1. Isoler le terme en $x$ : Soustraire $b$ des deux membres. $ax + b - b = c - b$ $ax = c - b$
2. Isoler $x$ : Diviser les deux membres par $a$. $x = \frac{c - b}{a}$

Exemple : $2x + 3 = 11$

1. $2x + 3 - 3 = 11 - 3$ $2x = 8$
2. $\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$ $x = 4$ Vérification : $2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$. C'est correct.

Si l'équation contient des parenthèses, la première étape est de les développer en utilisant la distributivité, puis de réduire les termes similaires.

Exemple : $3(x + 2) = 15$

1. Développer : $3 \times x + 3 \times 2 = 15 \Rightarrow 3x + 6 = 15$
2. Résoudre : $3x + 6 - 6 = 15 - 6$ $3x = 9$ $x = \frac{9}{3}$ $x = 3$

Quand l'inconnue apparaît des deux côtés du signe égal, l'objectif est de regrouper tous les termes en $x$ d'un côté et tous les termes constants de l'autre.

Exemple : $5x - 4 = 2x + 8$

1. Regrouper les $x$ (par exemple, à gauche) : Soustraire $2x$ des deux côtés. $5x - 4 - 2x = 2x + 8 - 2x$ $3x - 4 = 8$
2. Regrouper les constantes (à droite) : Ajouter $4$ des deux côtés. $3x - 4 + 4 = 8 + 4$ $3x = 12$
3. Isoler $x$ : $x = \frac{12}{3}$ $x = 4$

Pour résoudre des équations avec des fractions, on cherche souvent à éliminer les dénominateurs.

Méthode :

1. Mettre toutes les fractions au même dénominateur (si nécessaire). C'est souvent le plus petit multiple commun des dénominateurs.
2. Multiplier tous les termes de l'équation par ce dénominateur commun. Cela permet de "supprimer" les dénominateurs.
3. Résoudre l'équation obtenue, qui sera sans fractions.

Exemple : $\frac{x}{3} + 1 = \frac{x}{2}$

1. Le dénominateur commun de $3$ et $2$ est $6$. $\frac{2x}{6} + \frac{6}{6} = \frac{3x}{6}$
2. Multiplier toute l'équation par $6$ : $6 \times \left(\frac{2x}{6} + \frac{6}{6}\right) = 6 \times \left(\frac{3x}{6}\right)$ $2x + 6 = 3x$
3. Résoudre : $6 = 3x - 2x$ $6 = x$ Donc $x = 6$.

1. Lire et comprendre l'énoncé : Identifier les informations données et ce qui est demandé.
2. Choisir l'inconnue : Attribuer une lettre (souvent $x$) à la quantité que l'on cherche à trouver.
   • Exemple : "Soit $x$ l'âge de Pierre." ou "Soit $x$ le prix de l'article."
3. Mettre le problème en équation : Traduire les informations de l'énoncé en une égalité mathématique en utilisant l'inconnue choisie. C'est l'étape la plus délicate.

Une fois que le problème est traduit en équation, on applique les techniques de résolution vues précédemment pour trouver la valeur de l'inconnue.

1. Interpréter la solution : Revenir au problème initial. Que signifie la valeur de $x$ trouvée ?
2. Vérifier la cohérence : La solution a-t-elle un sens dans le contexte du problème (par exemple, un âge ne peut pas être négatif, un nombre de personnes doit être entier) ?
3. Formuler une phrase de conclusion : Répondre clairement à la question posée dans l'énoncé.

Exemple de problème : "J'ai 5 bonbons de plus que ma sœur. À nous deux, nous avons 23 bonbons. Combien de bonbons a ma sœur ?"

1. Inconnue : Soit $x$ le nombre de bonbons de ma sœur.
2. Mise en équation : J'ai $x+5$ bonbons. Ensemble : $x + (x+5) = 23$.
3. Résolution : $2x + 5 = 23$ $2x = 23 - 5$ $2x = 18$ $x = \frac{18}{2}$ $x = 9$
4. Interprétation et conclusion : Ma sœur a 9 bonbons. J'en ai $9+5=14$. Total $9+14=23$. La solution est cohérente. Ma sœur a 9 bonbons.

Une inéquation est une inégalité qui contient une ou plusieurs valeurs inconnues. Contrairement aux équations qui ont souvent une solution unique, les inéquations ont généralement une infinité de solutions.

Les symboles d'inégalité sont :

• $<$ : "strictement inférieur à"
• $>$ : "strictement supérieur à"
• $\leq$ : "inférieur ou égal à"
• $\geq$ : "supérieur ou égal à"

Exemple : $2x + 1 > 7$ Ici, $2x + 1$ est le membre de gauche et $7$ est le membre de droite. On cherche toutes les valeurs de $x$ qui rendent cette inégalité vraie.

Pour vérifier si une valeur est solution d'une inéquation, on procède comme pour une équation :

1. On remplace l'inconnue par la valeur donnée.
2. On calcule séparément la valeur de chaque membre.
3. On compare les résultats et on conclut si l'inégalité est vraie ou fausse pour cette valeur.

Exemple : L'inégalité $3x - 2 \leq x + 4$ est-elle vraie pour $x = 3$ ?

• Membre de gauche : $3 \times 3 - 2 = 9 - 2 = 7$
• Membre de droite : $3 + 4 = 7$ Comme $7 \leq 7$ est vrai, $x=3$ est une solution de l'inéquation.

Est-elle vraie pour $x = 5$ ?

• Membre de gauche : $3 \times 5 - 2 = 15 - 2 = 13$
• Membre de droite : $5 + 4 = 9$ Comme $13 \leq 9$ est faux, $x=5$ n'est pas une solution de l'inéquation.

Puisqu'il y a souvent une infinité de solutions, on les représente sur une droite graduée.

• On hachure la partie de la droite qui représente les solutions.
• On utilise un crochet pour indiquer si la valeur limite est incluse ou exclue.
  • Si $\leq$ ou $\geq$, le crochet est tourné vers l'ensemble des solutions (valeur incluse).
  • Si $<$ ou $>$, le crochet est tourné vers la partie non solution (valeur exclue).

Exemple :

• $x > 3$ : Solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 3.

  -----|-----|-----|-----|----->
       2     3     4     5
             ( crochet ouvert vers la droite )
  

• $x \leq 2$ : Solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 2.

  <-----|-----|-----|-----|-----
        1     2     3     4
      ( crochet fermé vers la gauche )
  

Les règles de résolution sont très similaires à celles des équations, à une exception près :

1. Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inéquation ne change pas le sens de l'inégalité. Si $a < b$, alors $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$.
2. Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité. Si $a < b$ et $c > 0$, alors $a \times c < b \times c$ et $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
3. Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre négatif CHANGE LE SENS de l'inégalité. Si $a < b$ et $c < 0$, alors $a \times c > b \times c$ et $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$. C'est la différence CRUCIALE avec les équations !

Exemple 1 : $x + 5 < 10$ $x + 5 - 5 < 10 - 5$ $x < 5$ Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 5.

Exemple 2 : $3x \geq 12$ $\frac{3x}{3} \geq \frac{12}{3}$ $x \geq 4$ Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 4.

Exemple 3 : $-2x < 6$ Attention ! On divise par un nombre négatif ($-2$), donc on change le sens de l'inégalité. $\frac{-2x}{-2} > \frac{6}{-2}$ $x > -3$ Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à -3.

Les méthodes pour les inéquations plus complexes sont les mêmes que pour les équations : développer les parenthèses, regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre. Il faut juste être vigilant au moment de multiplier ou diviser par un nombre négatif.

Exemple : $4x - 7 \leq 2x + 1$

1. Regrouper les $x$ à gauche : $4x - 7 - 2x \leq 2x + 1 - 2x$ $2x - 7 \leq 1$
2. Regrouper les constantes à droite : $2x - 7 + 7 \leq 1 + 7$ $2x \leq 8$
3. Isoler $x$ (division par $2$, un nombre positif, donc on ne change pas le sens) : $\frac{2x}{2} \leq \frac{8}{2}$ $x \leq 4$

L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-\infty; 4]$. Sur une droite graduée :

<-----|-----|-----|-----|-----
      3     4     5     6
      ( crochet fermé vers la gauche )