Derivadas y optimización

Para entender el cambio, primero debemos observar cómo varía una función en un intervalo. La Tasa de Variación Media (TVM) mide el cambio promedio de la función $f(x)$ entre dos puntos $a$ y $b$.

$TVM[a, b] = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Físicamente, si $f(x)$ representa la posición de un objeto, la TVM es la velocidad media. Sin embargo, en economía o sociología, a menudo necesitamos saber qué ocurre en un momento exacto. Si hacemos que el intervalo $[a, b]$ sea cada vez más pequeño (tendiendo a cero), obtenemos la Tasa de Variación Instantánea (TVI), que coincide con el concepto de derivada.

La derivada de una función en un punto $x = a$ se define como el límite del cociente incremental:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Para que una función sea derivable en un punto, deben existir las derivadas laterales (por la izquierda y por la derecha) y ser iguales. Si los límites laterales no coinciden, decimos que la función no es derivable en ese punto (como ocurre en los "picos" de las gráficas).

La derivada $f'(a)$ representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $(a, f(a))$.

• Si $f'(a) > 0$, la función es creciente y la tangente sube.
• Si $f'(a) < 0$, la función es decreciente y la tangente baja.

La ecuación de la recta tangente en el punto $x = a$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

Es vital recordar que la derivabilidad implica continuidad: si una función es derivable en un punto, obligatoriamente es continua en él. Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto.

Para agilizar los cálculos, utilizamos reglas preestablecidas derivadas de la definición formal:

Cuando las funciones se combinan, aplicamos las siguientes reglas:

1. Suma/Resta: $(f \pm g)' = f' \pm g'$
2. Producto: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
3. Cociente: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Es la regla más importante para derivar funciones compuestas $f(g(x))$. Se enuncia como: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Ejemplo: Para derivar $y = \ln(x^2 + 1)$, identificamos la función externa ($\ln$) y la interna ($x^2 + 1$). $y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

El estudio del signo de la primera derivada nos indica el comportamiento de la función:

• Si $f'(x) > 0$ en un intervalo, la función es estrictamente creciente.
• Si $f'(x) < 0$ en un intervalo, la función es estrictamente decreciente.

Los puntos donde $f'(x) = 0$ se denominan puntos críticos o estacionarios.

Los máximos y mínimos locales se encuentran entre los puntos críticos.

• Criterio de la primera derivada: Si $f'(x)$ pasa de ser positiva a negativa en un punto $c$, hay un máximo relativo. Si pasa de negativa a positiva, hay un mínimo relativo.
• Criterio de la segunda derivada:
  • Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0 \implies$ Mínimo relativo.
  • Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) < 0 \implies$ Máximo relativo.

La segunda derivada $f''(x)$ informa sobre la forma de la curva:

• Si $f''(x) > 0$, la función es convexa ($\cup$).
• Si $f''(x) < 0$, la función es cóncava ($\cap$).

Los puntos de inflexión son aquellos donde la función cambia su curvatura (de cóncava a convexa o viceversa) y se localizan donde $f''(x) = 0$ (y cambia el signo de $f''$).

1. Función objetivo: Definir la variable que queremos maximizar o minimizar (ej. Beneficio $B(x)$).
2. Restricción: Identificar la relación entre las variables (ej. el presupuesto es limitado o el área es fija).
3. Reducción: Usar la restricción para que la función objetivo dependa de una sola variable.

En Ciencias Sociales, los problemas suelen centrarse en:

• Ingreso Total ($I$): Precio por cantidad vendida ($p \cdot x$).
• Coste Total ($C$): Gastos de producción.
• Beneficio ($B$): $I(x) - C(x)$.
• El beneficio máximo ocurre cuando el Ingreso Marginal es igual al Coste Marginal ($I'(x) = C'(x)$).

También es común optimizar dimensiones (el área máxima de un recinto con un perímetro dado) o modelos sociales (la propagación de una noticia o el nivel de audiencia de un programa). La clave siempre es derivar la función objetivo e igualar a cero para hallar el candidato a óptimo.

Para dibujar una función con precisión, seguimos estos pasos:

1. Dominio: Valores de $x$ para los que existe la función.
2. Puntos de corte: Con el eje Y ($x=0$) y con el eje X ($y=0$).
3. Asíntotas:
   • Verticales (puntos donde la función tiende a infinito).
   • Horizontales (límite cuando $x \to \infty$).
   • Oblicuas.
4. Simetría: Par ($f(x) = f(-x)$) o Impar ($f(-x) = -f(x)$).

Recopilamos los datos de las derivadas en una tabla de variación:

Esta tabla permite realizar un esbozo de la gráfica conectando los puntos clave (cortes, extremos e inflexiones) respetando las asíntotas.

Muchas funciones económicas (como impuestos por tramos) se definen a trozos. Para estudiarlas:

1. Comprobar la continuidad en los puntos de unión (límites laterales).
2. Si es continua, estudiar la derivabilidad comparando las derivadas laterales en el salto.
3. Si las derivadas laterales son distintas, existe un punto anguloso y la función no es derivable ahí, aunque sea continua.