Integrales y áreas

En el cálculo diferencial, aprendimos a hallar la derivada de una función. El cálculo integral recorre el camino inverso. Decimos que una función $F(x)$ es una primitiva de otra función $f(x)$ si se cumple que la derivada de la primera es igual a la segunda: $F'(x) = f(x)$.

Sin embargo, debido a que la derivada de cualquier constante es cero, si $F(x)$ es una primitiva, entonces $F(x) + 5$ o $F(x) - 100$ también lo son. Por ello, hablamos de una familia de primitivas, que representamos mediante la constante de integración $C$:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

Geométricamente, la constante $C$ representa un desplazamiento vertical de la gráfica de la función. Todas las funciones de la familia tienen la misma pendiente en cada punto $x$, pero cortan al eje de ordenadas en puntos distintos.

La integración es una operación lineal, lo que facilita enormemente el cálculo de funciones complejas al permitir descomponerlas en partes más sencillas. Las dos propiedades fundamentales son:

1. Integral de la suma o resta: La integral de una suma de funciones es la suma de sus integrales. $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
2. Producto por una constante: Las constantes que multiplican a una función pueden "salir" fuera del símbolo de la integral. $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$

No existe una propiedad análoga para el producto o la división de funciones; para esos casos, necesitaremos métodos específicos como la integración por partes.

Para resolver integrales con fluidez, es imprescindible memorizar las formas básicas derivadas de las reglas de derivación:

Ejemplo práctico: Para calcular $\int (3x^2 + \frac{1}{x}) dx$, aplicamos linealidad y las reglas básicas: $3 \int x^2 dx + \int \frac{1}{x} dx = 3 \frac{x^3}{3} + \ln|x| = x^3 + \ln|x| + C$.

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Este método se utiliza cuando observamos que en el integrando aparece una función y, casi de forma exacta, su derivada. El objetivo es simplificar la expresión transformándola en una integral inmediata.

1. Elegir el cambio: Llamamos $t = g(x)$.
2. Calcular el diferencial: Derivamos ambos lados para obtener $dt = g'(x) dx$.
3. Sustituir y resolver: Escribimos la integral en términos de $t$.
4. Deshacer el cambio: Volvemos a la variable original $x$.

Es especialmente útil en funciones compuestas del tipo $\int f(g(x)) \cdot g'(x) dx$.

Cuando tenemos un producto de funciones que no están relacionadas por la derivada, aplicamos la fórmula: $\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$

Para elegir correctamente qué función será $u$ (la que derivamos) y cuál será $dv$ (la que integramos), usamos la regla mnemotécnica ALPES:

• Arcos (funciones inversas)
• Logaritmos
• Potencias (polinomios)
• Exponenciales
• Senos/Cosenos

La prioridad para elegir $u$ sigue el orden de la palabra ALPES. Por ejemplo, en $\int x \cdot e^x dx$, elegimos $u=x$ (Potencia) y $dv=e^x dx$ (Exponencial).

Se aplica a funciones del tipo $\frac{P(x)}{Q(x)}$. En 2º de Bachillerato de CCSS, nos centramos en casos donde el denominador es de segundo grado.

• Raíces reales distintas: Si $Q(x) = (x-a)(x-b)$, descomponemos en fracciones simples: $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$. Esto da lugar a logaritmos neperianos.
• Tipo Arcotangente: Si el denominador no tiene raíces reales y el numerador es una constante, la integral suele ajustarse a la forma de la arcotangente: $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$.

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La integral definida representa el área neta encerrada entre la gráfica de una función $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x=a$ y $x=b$. Se basa en la idea de dividir el área en rectángulos infinitamente estrechos (Sumas de Riemann).

Propiedades clave:

• $\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$
• $\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$
• Aditividad: $\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Es la herramienta fundamental para calcular integrales definidas sin necesidad de sumas complejas. Establece que si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$: $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

Pasos para aplicar Barrow:

1. Hallar la integral indefinida (sin olvidar la constante $C$, aunque al restar se anulará).
2. Sustituir el límite superior ($b$) en la primitiva.
3. Sustituir el límite inferior ($a$) en la primitiva.
4. Restar ambos valores.

Este teorema afirma que si una función es continua en $[a, b]$, existe al menos un punto $c$ en ese intervalo tal que: $f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$

El valor $f(c)$ se denomina valor medio de la función. En Economía, esto permite calcular, por ejemplo, el precio medio de un producto durante un periodo de tiempo o el nivel medio de stock en un almacén.

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El valor de una integral definida puede ser negativo si la función está por debajo del eje $X$, pero un área siempre debe ser positiva.

Procedimiento:

1. Resolver $f(x) = 0$ para encontrar los puntos de corte con el eje $OX$ dentro del intervalo $[a, b]$.
2. Dividir el intervalo total en subintervalos usando esos puntos de corte.
3. Calcular la integral definida en cada subintervalo.
4. Sumar los valores absolutos de cada integral obtenida.

Para hallar el área entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, trabajamos con la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x)$.

1. Igualamos las funciones para hallar los puntos de intersección: $f(x) = g(x)$. Estos serán nuestros límites de integración.
2. Planteamos la integral: $Area = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$.
3. Si no sabemos cuál está por encima, calculamos la integral y tomamos el valor absoluto al final.

Cuando un recinto está limitado por más de dos funciones o por funciones que cambian su posición relativa, es vital realizar una representación gráfica previa. Esto nos permite visualizar dónde debemos fragmentar la integral para sumar las áreas parciales correctamente.

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En economía, la derivada de una función total (Coste, Ingreso, Beneficio) es la función marginal. Por tanto, la integral de la función marginal nos devuelve la función total.

• Coste Total: $C(x) = \int C'(x) dx$. Aquí, la constante $C$ representa los costes fijos (el coste cuando la producción $x$ es cero).
• Ingreso Total: $I(x) = \int I'(x) dx$. Generalmente, si no se vende nada, el ingreso es cero, por lo que $I(0) = 0$.

Estas magnitudes miden el bienestar económico en un mercado competitivo.

• Excedente del Consumidor: Es el beneficio que obtienen los consumidores al pagar un precio inferior al que estarían dispuestos a pagar. Se calcula como el área entre la curva de demanda $p=d(x)$ y el precio de equilibrio $p_0$: $EC = \int_{0}^{x_0} [d(x) - p_0] dx$
• Excedente del Productor: Es el beneficio de los productores al vender a un precio superior al de su coste marginal. Es el área entre el precio de equilibrio y la curva de oferta $p=s(x)$: $EP = \int_{0}^{x_0} [p_0 - s(x)] dx$

La integral definida se utiliza para calcular la variación neta de una magnitud a lo largo del tiempo. Si $f(t)$ representa la tasa de crecimiento de una población, entonces $\int_{t_1}^{t_2} f(t) dt$ nos da el número total de nuevos individuos en ese periodo.

La interpretación del resultado es fundamental: no es solo un número, sino una cantidad física o económica (personas, euros, litros, unidades de stock) acumulada entre dos instantes de tiempo.